Question

如图2 在平行四边形ABCD中，点P 是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，且PE=PF，

则平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？

Answer 1

是菱形！
分析：因为点P 是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥AD，且PE=PF
所以AC是平行四边形ABCD的对角平分线（角平分线上的任意一点到角两边距离相等）
而菱形对角线是平分对角，所以是菱形
证明：在三角形AEP和三角形AFP中
PE⊥AB，PF⊥AD 所以∠AEP=∠AFP=90，PE=PF（已知）AP=AP(公共边）
∴△AEP≌△AFP　　　∴∠PAE=∠PAF
所以AC是平行四边形ABCD的对角平分线，而菱形对角线是平分对角，所以是菱形。

Answer 2

解：是菱形．
理由如下：∵PE⊥AB，PF⊥AD，且PE=PF，
∴AC是∠DAB的角平分线，
∴∠DAC=∠CAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∴平行四边形ABCD是菱形．

Answer 3

先证△AFP≌△AEP
∠DAC=∠BAC

∠DCA=∠BAC

AD=CD
∴平行四边形ABCD是菱形