Question

如图①,②,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(4,0),以点A为圆心,4为半径的圆与x

Answer 1

解：（1）∵∠AOC=60°，AO=AC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC=60°．
（2）∵CP与⊙A相切，
∴∠ACP=90°，
∴∠APC=90°-∠OAC=30°；
又∵A（4，0），
∴AC=AO=4，
∴PA=2AC=8，
∴PO=PA-OA=8-4=4．
（3）如图2 ，当点P 在直径OB上时，CP 的延长线与⊙A相交于点q,问PO 为何值时，△ocq是等腰三角形.---两解 1.PO=2 (CQ为底）；2. PO=2+2√3 (OC为底)
圆方程为:(x-4)^2+y^2=16,
OC方程为:y=tan60°x
y=√3x,C点为与圆的交点,代入圆方程,
x=0,或x=2,
x=0,y=0,表示与圆相交于原点,
x=2,y=2√3,C(2,2√3)
因△COQ是等腰△,Q点必在OC的垂直平分线上,又根据弦心距垂直弦的性质,A点必在OC的垂直平分线上,连结AQ并延长与OC相交于E,与圆交于Q’点，AQ直线斜率与OC的斜率互为负倒数,k1=-√3/3,AQ直线方程为:y==-√3/3(x-4),代入圆方程，
x=4+2√3，或x=4-2√3,
y=-2,或y=2,
Q'坐标（4-2√3，2），
Q坐标（4+2√3，-2），
CQ的直线方程，根据两点式，
（y-2√3)/(x-2)=(2√3+2/[2-(4+2√3)]
y=-x+2+2√3
令y=0,x=2√3+2,
0<x<8,故在直径上，
P点坐标为,(2√3+2,0）。
CQ’与X轴相交于圆外，P点不在直径上,x=2-2√3<0。 设Q点坐标为（x，y)
∠AOC为60°，C点坐标（2，2√3）
三角形OCQ为等腰三角形, |QC| = |QO|, 或|OC| = |OQ|
（1） 若|QC| = |QO
（x-2）^2+(y-2√3)^2 = x^2+y^2
(x-4)^2+y^2 = 16 设Q点坐标为（x，y)
∠AOC为60°，C点坐标（2，2√3）
三角形OCQ为等腰三角形, |QC| = |QO|, 或|OC| = |OQ|
（1） 若|QC| = |QO
（x-2）^2+(y-2√3)^2 = x^2+y^2
(x-4)^2+y^2 = 16

解这个方程得到
x= 4+2√3, y = -2
（2） 若 |OC| = |OQ|， Q点坐标(2,-2√3)

分析：（1）OA=AC首先三角形OAC是个等腰三角形，因为∠AOC=60°，三角形AOC是个等边三角形，因此∠OAC=60°；
（2）如果PC与圆A相切，那么AC⊥PC，在直角三角形APC中，有∠PCA的度数，有A点的坐标也就有了AC的长，可根据余弦函数求出PA的长，然后由PO=PA-OA得出OP的值．
（3）本题分两种情况：
①以O为顶点，OC，OQ为腰．那么可过C作x轴的垂线，交圆于Q，此时三角形OCQ就是此类情况所说的等腰三角形；那么此时PO可在直角三角形OCP中，根据∠COA的度数，和OC即半径的长求出PO．
②以Q为顶点，QC，QD为腰，那么可做OC的垂直平分线交圆于Q，则这条线必过圆心，如果设垂直平分线交OC于D的话，可在直角三角形AOQ中根据∠QAE的度数和半径的长求出Q的坐标；然后用待定系数法求出CQ所在直线的解析式，得出这条直线与x轴的交点，也就求出了PO的值．

Answer 2

（3）如图2 ，当点P 在直径OB上时，CP 的延长线与⊙A相交于点q,问PO 为何值时，△ocq是等腰三角形.---两解 1.PO=2 (CQ为底）；2. PO=2+2√3 (OC为底)
圆方程为:(x-4)^2+y^2=16,
OC方程为:y=tan60°x
y=√3x,C点为与圆的交点,代入圆方程,
x=0,或x=2,
x=0,y=0,表示与圆相交于原点,
x=2,y=2√3,C(2,2√3)
因△COQ是等腰△,Q点必在OC的垂直平分线上,又根据弦心距垂直弦的性质,A点必在OC的垂直平分线上,连结AQ并延长与OC相交于E,与圆交于Q’点，AQ直线斜率与OC的斜率互为负倒数,k1=-√3/3,AQ直线方程为:y==-√3/3(x-4),代入圆方程，
x=4+2√3，或x=4-2√3,
y=-2,或y=2,
Q'坐标（4-2√3，2），
Q坐标（4+2√3，-2），
CQ的直线方程，根据两点式，
（y-2√3)/(x-2)=(2√3+2/[2-(4+2√3)]
y=-x+2+2√3
令y=0,x=2√3+2,
0<x<8,故在直径上，
P点坐标为,(2√3+2,0）。
CQ’与X轴相交于圆外，P点不在直径上,x=2-2√3<0。 设Q点坐标为（x，y)
∠AOC为60°，C点坐标（2，2√3）
三角形OCQ为等腰三角形, |QC| = |QO|, 或|OC| = |OQ|
（1） 若|QC| = |QO
（x-2）^2+(y-2√3)^2 = x^2+y^2
(x-4)^2+y^2 = 16 设Q点坐标为（x，y)
∠AOC为60°，C点坐标（2，2√3）
三角形OCQ为等腰三角形, |QC| = |QO|, 或|OC| = |OQ|
（1） 若|QC| = |QO
（x-2）^2+(y-2√3)^2 = x^2+y^2
(x-4)^2+y^2 = 16

解这个方程得到
x= 4+2√3, y = -2

（2） 若 |OC| = |OQ|， Q点坐标(2,-2√3)