Question

设f(x)是定义在R上的函数,对任意实数m,n都有f(m)*f(n)=f(m+n),且x<0时,f(x)>1. 1.求f(0)

2.求证x>0时,0<f(x)<1
3.判断f(X)在R上的单调性并加以证明

Answer 1

1.令m=-1，n=0。f(m)*f(n)=f(m+n)即为f(-1)*f(0)=f(-1).又当x<0时，f(x)>1,所以约分得f(0)=1
2.令m>0,n<0,且m<n.那么f(n)>1>0,f(m+n)>1>0,所以f(m)>0.
令m+n=0,m>0,n<0,则f(m)=f(m+n)/f(n)=1/f(n),即f(m)为f(n)的倒数，已知n<0时，f(n)>1,所以它的倒数必小于1.
所以当x>0时，0<f(x)<1.
3.单调递减
由上可知f(x)>=1。令x1,x2为R上的两个实数，且x1>x2,x1=x2+α(为正数）.f(x1)=f(x1+x2)/f(x2).
f(x1)/f(x2)=f(x1+x2)/f(x2+x2)=f(x2+x2+α)/f(x2+x2)=f(α).0<f(α)<1.
所以单调递减

Answer 2

1. 令m=n=0 那么有f（0）=f（0)^2
则f（0）=0或1
若f（0）=0 那么令m=0 n>0那么f（m+n）=f（0+n）=f（0）f（n）=0
这样对于任何n>0都有f（n）=0 这与条件x>0时0<f(x)<1矛盾
所以f（0）=1

2. 证明：因为当x<0时 f(x)>1，所以
当x＞0时，-x<0，所以f(-x)>1 …………①
由f(m)f(n)=f(m+n)，令m=x，n= -x得
f(x)f(-x)=f(0)=1，所以f(-x)=1/f(x) …………②
①②结合得
1/f(x)>1，变形
[1/f(x)]-1>0
[1-f(x)]/f(x)>0，该式说明分子与分母异号，所以分子与分母相乘也小于0，即
[1-f(x)]*f(x)>0
[f(x)-1]*f(x)<0，解出
0＜f(x)＜1

3. 证明：设x1<x2，由f(m)f(n)=f(m+n)，令m=x1，n= -x2得
f(x1-x2)=f(x1)*f(-x2)，
由②式可得f(-x2)=1/f(x2)，所以上式又变为
f(x1-x2)=f(x1)/f(x2)
因为x1<x2，所以x1-x2<0，依题意“当x<0时f(x)>1”得f(x1-x2)>1
所以f(x1)/f(x2)>1
由题设的条件及(2)的证明可知：在x∈R上，f(x)>0，所以f(x2)>0，上面的不等式两边同乘以f(x2)，变为f(x1)>f(x2)
从而证得f(x)在R上单调递减。

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