Question

已知f(x)是定义在R上的函数对任意实数m n都有f(m)f(n)=f(m+n) 且当x<0时 f(x)>1.

(1)①证明：f（0）=1
②证明: 当x＞0时 0＜f(x)＜1
③证明 f(x)是R上的减函数
（2）设a属于R，试解关于x的不等式f(x^2-3ax+1）f(-3x+6a+1)≥1

Answer 1

1、（1）取m=n=0得 f(0)f(0)=f(0) 得f(0)=0或1
又取n=0,m=-1时 f(-1)f(0)=f(-1) 结合当x<0时 f(x)>1.所以f(0)≠0
所以f（0）=1
(2)证明：因为当x<0时 f(x)>1，所以
当x＞0时，-x<0，所以f(-x)>1 …………①
由f(m)f(n)=f(m+n)，令m=x，n= -x得
f(x)f(-x)=f(0)=1，所以f(-x)=1/f(x) …………②
①②结合得
1/f(x)>1，变形
[1/f(x)]-1>0
[1-f(x)]/f(x)>0，该式说明分子与分母异号，所以分子与分母相乘也小于0，即
[1-f(x)]*f(x)>0
[f(x)-1]*f(x)<0，解出
0＜f(x)＜1

(3)证明：设x1<x2，由f(m)f(n)=f(m+n)，令m=x1，n= -x2得
f(x1-x2)=f(x1)*f(-x2)，
由②式可得f(-x2)=1/f(x2)，所以上式又变为
f(x1-x2)=f(x1)/f(x2)
因为x1<x2，所以x1-x2<0，依题意“当x<0时f(x)>1”得f(x1-x2)>1
所以f(x1)/f(x2)>1
由题设的条件及(2)的证明可知：在x∈R上，f(x)>0，所以f(x2)>0，上面的不等式两边同乘以f(x2)，变为
f(x1)>f(x2)
从而证得f(x)在R上单调递减。

(4) f(x^2-3ax+1）f(-3x+6a+1)≥1
即 f(x^2-3ax+1-3x+6a+1)≥1
即 f(x^2-3ax+1-3x+6a+1)≥f(0)
f(x)在R上单调递减
则x^2-3ax+1-3x+6a+1<0
由x1=2 x2=3a+1
若a=1/3时原不等式无解
若a>1/3时原不等式解集为（-∞，2）∪（3a+1,+∞)
若a<1/3时原不等式解集为（-∞，3a+1）∪（2,+∞)

Answer 2

（1）1. f(0)*f(0)=f(0)→f(0)=1
2. 令x>0.
则f(x)f(-x)=f(0)=1
∵f(-x)>1
∴0<f(x)<1
3.当x2>x1时.x2-x1>0
f(x2)/f(x1)=f(x2-x1)<1
∴f(x)是R上的减函数
（2）f(x^2-3ax+1）f(-3x+6a+1)=f(x^2-3ax+1-3x+6a+1)≥1
∴x^2-3ax+1-3x+6a+1≤0
a=1/3时原不等式无解
a>1/3时原不等式解集为（-∞，2）∪（3a+1,+∞)
a<1/3时原不等式解集为（-∞，3a+1）∪（2,+∞)