Question

如果实数x、y满足x^2+y^2-4x-5=0求:（1）x^2+y^2的最大值 （2）y-x的最小值; （3） (y+6)/(x-5)的最大值

用关于圆的只是解答

Answer 1

这三问可以只用判别式法解决（这和圆无关，只要是二次曲线都成）。
1）设 t=x^2+y^2，代入原方程得 t-4x-5=0，即 x=(t-5)/4，
所以，由t=x^2+y^2得 t=[(t-5)/4]^2+y^2，
所以，y^2=t-[(t-5)/4]^2>=0，
16t-(t^2-10t+25)>=0，
t^2-26t+25<=0，
(t-1)(t-25)<=0，
所以，1<=t<=25，最大值为25。
2）设 t=y-x，则 y=t+x，代入原方程得 x^2+(t+x)^2-4x-5=0，
即 2x^2+(2t-4)x+(t^2-5)=0，
Δ=(2t-4)^2-8(t^2-5)>=0，
所以，-4t^2-16t+56>=0，
即 t^2+4t-14<=0，
所以，-2-3√2<=t<=-2+3√2，最大值为 -2+3√2。
3）设 t=(y+6)/(x-5)，则 y=t(x-5)-6，代入原方程得 x^2+[t(x-5)-6]^2-4x-5=0，
(t^2+1)x^2-[2t(5t+6)+4]x+(5t+6)^2-5=0，
所以，。。。。。。。

Answer 2

x^2+y^2-4x-5=0
(x-2)²+y²=3²
写成参数的形式是:
x=2+3cosa
y=3sina

(1)y-x的最小值
y-x
=3sina-3cosa-2
=3(根号2)sin(a-45°)-2
>=-3(根号2)-2

(2)x^2+y^2的最大值
x²+y²
=(2+3cosa)²+(3sina)²
=4+12cosa+9(cos²a+sin²a)
=13+12cosa
<=13+12=25

(3)(y+6)/(x-5)的最大值
该式的几何含义是圆上的点A与点P(5,-6)的连线的斜率
设过点P的直线方程为y=k(x-5)-6
写成一般式为kx-y-(5k+6)=0
则当直线与圆相切时,圆心(2,0)到直线的距离等于半径
|2k-0-(5k+6)|/根号(k²+1)=3
|-3k-6|=3根号(k²+1)
两边平方得
9(k+2)²=9(k²+1)
解得,k=-3/4
显然,另一条切线的方程是x=5,斜率不存在
所以k<=-3/4
即(y+6)/(x-5)的最大值是-3/4