Question

已知函数f(x)=(ax+b)/(x2+1)是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(1/2)=2/5 证明其是增函数（定义法）

已知函数f(x)=(ax+b)/(x2+1)是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(1/2)=2/5
证明其是增函数（定义法）

Answer 1

f(0)=b=0
f(1/2)=2/5
代入，得a=1
∴f(x)=x/(x²+1)
设-1<x1<x2<1
则
f(x1)-f(x2)
=x1/(x1²+1)-x2/(x2²+1)
=(x2-x1)(x1x211))/(x1²+1)(x2²+1)<0
∴f(x1)<f(x2)
所以
f(x)在(-1,1)上是增函数。

追问

x1/(x1²+1)-x2/(x2²+1)
=(x2-x1)(x1x211))/(x1²+1)(x2²+1)分子怎么变出来的？？？

追答

x1/(x1²+1)-x2/(x2²+1)
=(x1x2²+x1-x1²x2-x2)/(x1²+1)(x2²+1)
=[x1x2(x2-x1)+(x1-x2)]/(x1²+1)(x2²+1)
=[(x2-x1)(x1x2-1)]/(x1²+1)(x2²+1)
而-10
x2-x1>0
x1x2-1<0
∴(x2-x1)(x1x2-1)<0
∴f(x1)<f(x2)
……