已知函数f(x)=(ax+b)/(x2+1)是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(1/2)=2/5 证明其是增函数(定义法)
已知函数f(x)=(ax+b)/(x2+1)是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(1/2)=2/5证明其是增函数(定义法)...
已知函数f(x)=(ax+b)/(x2+1)是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(1/2)=2/5
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1个回答
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f(0)=b=0
f(1/2)=2/5
代入,得a=1
∴f(x)=x/(x²+1)
设-1<x1<x2<仔皮1
则
f(x1)-f(x2)
=x1/扮戚型(x1²+1)-x2/(x2²+1)
=(x2-x1)(x1x211))/(x1²+1)(x2²厅猜+1)<0
∴f(x1)<f(x2)
所以
f(x)在(-1,1)上是增函数。
f(1/2)=2/5
代入,得a=1
∴f(x)=x/(x²+1)
设-1<x1<x2<仔皮1
则
f(x1)-f(x2)
=x1/扮戚型(x1²+1)-x2/(x2²+1)
=(x2-x1)(x1x211))/(x1²+1)(x2²厅猜+1)<0
∴f(x1)<f(x2)
所以
f(x)在(-1,1)上是增函数。
追问
x1/(x1²+1)-x2/(x2²+1)
=(x2-x1)(x1x211))/(x1²+1)(x2²+1)分子怎么变出来的???
追答
x1/(x1²+1)-x2/(x2²+1)
=(x1x2²+x1-x1²x2-x2)/(x1²+1)(x2²+1)
=[x1x2(x2-x1)+(x1-x2)]/(x1²+1)(x2²+1)
=[(x2-x1)(x1x2-1)]/(x1²+1)(x2²+1)
而-10
x2-x1>0
x1x2-1<0
∴(x2-x1)(x1x2-1)<0
∴f(x1)<f(x2)
……
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