Question

已知数列{an}的前n项和为Sn=(n+1)^2+c,探究{an}是等差数列的充要条件

Answer 1

n=1代入:a(1)=c+4
S(n)=(n+1)^2+c ……(1)
n+1代入（1）：
S(n+1)=(n+2)^2+c ……(2)
(2)-(1)化简得：
a(n+1)=2n+3
即：a(n)=2n+1
由于 {an} 是等差数列，因此a(1)应该满足通项公式
所以：c+4=3
c=-1
所以 充要条件是 c=-1
必要性已证，充分性显然

Answer 2

c=-1
证明：充分性：c=-1时，Sn=n^2+2n
an=Sn-Sn-1=2n+1(n>1)
a1=3满足上式。
an-an-1=2,即{an}是等差数列
必要性：若{an}是等差数列，设an=pn+q(p,q∈R)
Sn=p(1+2+……+n)+qn=p/2*n(n+1)+qn=p/2*n^2+(p/2+q)n
即没有常数项
观察Sn，易得c=-1

Answer 3

C= -1

Answer 4

Sn-S(n-1)=2n+1=an
an-a（n-1）=2 所以an是等差数列
假设an不是等差数列，则an-a（n-1）=d=Sn-S（n-1）-S（n-1）+S（n-2）=（n+1）^2-2（n-1+1）^2+（n-2+1）^2=2 即an-a（n-1）=2 ，假设不成立，即 an是等差数列