Question

f(x)是定义在上的函数，对于任意x,y属于R，恒有f(x+y)=f(x)f(y),且x>0时f(x)>1,证明f(x)是R上的单调增函数

Answer 1

令X=0，所以有
f(0+y)=f(0)*f(y)
所以f(0)=1
令x与y互为相反数，
x>0,则y<0
所以f（x+y）=f(0)=f(x)*f(y)=1
由条件可知f(x)>1,所以f(y)<1
（2）令x,y都大于零，f(x+y)=f(x)*f(y)
因为x,y都大于零，所以f(x),f(y)都大于1
可知f(x+y)>1,且大于f(x),f(y)
x<x+y,f(x)<f(x+y),
同理可证当x小于零时的情况
结合条件，x<0,0<f(x)<1;x=0，f(0)=1;x>0,f(x)>1，
可知f(x)在R上单调递增。