Question

实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的，那反之呢？

3阶实对称矩阵中已知三个特征值（有1二重根）和一个特征向量（为单根的特征向量），那么与已知的特征向量正交的基础解系就是重根的特征向量吗？
考研数学 李永乐 P459 求B的特征值特征向量

Answer 1

在这个题目的情形下答案是肯定的.
可以这样考虑.
与已知的单根的特征向量(a,b,c)≠0 正交的向量满足齐次线性方程组
ax1+bx2+cx2 = 0.
此齐次线性方程组的基础解系含2个解向量.

而由实对称矩阵的性质可知,
属于A的二重根的特征值必有2个线性无关的与(a,b,c)正交的特征向量.
所以, 这两个线性无关的与(a,b,c)正交的特征向量必然是上述齐次线性方程组的基础解系.

Answer 2

单根的特征向量和重根的肯定正交
但是并不是和重根正交就是其特征向量
如果那样就不用那个思密特正交法了

Answer 3

思路大概是这样的设实对称矩阵a的两不同特征值k1，k2对应的特征向量a，b，则a‘ab=k1*a’b此式的左边为一实数，故其转置与其相等，再由a为实对阵矩阵，有a‘ab=b'a‘a=b’aa=k2*b'a即k1*a’b=k2*b'a又由a’b=b'a，k1不等于k2故a’b=b'a=0