Question

已知点P(x,y)在椭圆x^2/4+y^2=1上，求x^2+2y的最值。麻烦写下过程！

Answer 1

由椭圆公式得，x^2/4=1-y^2
则x^2+2y=4-4y^2+2y求其最大值
即-4(y^2-y/2-1)的最大值，即-4[(y-1/4)^2-1/16-1]的最大值，即-4*(-17/16)=17/4

追问

最小值能求么？

追答

本来对于二次函数，当自变量不限定时，图像是一条抛物线，根据开口向上还是向下就只有一个最值。但是对于此处的椭圆，由于长半轴和短半轴的限制，会有最值。
此处x在【-2,2】上取，y在【-1,1】上取，则可能有最小值。你自己算吧，懂了吧
此时y=0.25在【-1,1】上，则此时必得最大值，而0.25距-1比1远些，由于抛物线关于直线x=-b/(2a）轴对称，必在-1处有最大值

Answer 2

x的平方=4（1-y的平方），则x^2+2y=-4y*y+2y+4,令f（y）=
-4y*y+2y+4是一个一元二次函数，对于形如f(x)=ax*x+bx+c的函数，当a>0，x=-b/(2a)时，f（x）取得最小值，当a<0,x=-b/(2a）时取得最大值。则上y=0.25时，有最大值

追问

这个没有最小值？

追答

本来对于二次函数，当自变量不限定时，图像是一条抛物线，根据开口向上还是向下就只有一个最值。但是对于此处的椭圆，由于长半轴和短半轴的限制，会有最值。
此处x在【-2,2】上取，y在【-1,1】上取，则可能有最小值。你自己算吧，懂了吧
此时y=0.25在【-1,1】上，则此时必得最大值，而0.25距-1比1远些，由于抛物线关于直线x=-b/(2a）轴对称，必在-1处有最大值