Question

不定积分计算：∫(x-1)cos2xdx

我算的就是∫(x-1)cos2xdx = ∫(x-1) cos2x d2x 1/2 = 1/2(x-1) ∫cos2x d2x = 1/2(x-1) sin2x

不知道我哪里做错了，答案写了一大长串都不知道它在说什么。

Answer 1

∫(x-1)cos2xdx
=∫(xcos2x-cos2x)dx
=∫xcos2xdx-∫cos2xdx
=1/2∫xdsin2x-∫cos2xdx
=1/2(xsin2x-∫sin2xdx)(分部积分法)-∫cos2xdx
=1/2xsin2x-1/2∫sin2xdx-∫cos2xdx
=1/2xsin2x-1/4∫sin2xd2x-∫cos2xdx
=1/2xsin2x+1/4cos2x-1/2sin2x
你是第三步错了，不懂的话再问我

Answer 2

∫(x-1) cos2x d2x 1/2 = 1/2(x-1) ∫cos2x d2x
这一步错误了，被积函数怎么能跑到外面呢？
正确的应该是
∫(x-1)cos2xdx
= ∫xcos2xdx-∫cos2xdx
=1/2∫xcos2xd2x-1/2sin2x
=1/2∫xdcos2x-1/2sin2x
=1/2xcos2x-1/2∫cos2xdx-1/2sin2x
=1/2xcos2x-3/4sin2x+C

追问

倒数第二行，前面两个式子是怎么算出来的？就是这个：=1/2xcos2x-1/2∫cos2xdx

追答

1/2xcos2x-1/2∫cos2xdx-1/2sin2x
是分步积分法呀
前面第一步不是求出个-∫cos2xdx吗，直接代入，不用再算了啊

追问

那也不对啊，分部积分完了应该是1/2xcos2x-1/2∫cos2xd2x-1/2sin2x
这样算完了，就等于：1/2xcos2x-sin2x了。。。。。跟答案不一样啊

追答

晕菜，你没有看到积分符号前面还有一个系数1/2吗？

追问

1/2已经提出去了，分部积分的内容没有算它

追答

你好好看看我的第一步到第二步的变形
∫cos2xdx
=1/2sin2x

看到了吗，多出来了个系数1/2，
后面积分符号前面还有一个系数1/2，所以就是1/4sin2x，这次明白了吗？

追问

系数明白。分部积分的内一部，应该是1/2xcos2x-1/2∫cos2xd2x-1/2sin2x，不是1/2xcos2x-1/2∫cos2xdx-1/2sin2x这个吧

追答

晕菜，这是两个积分呀，你没看到第一步我把题目变成了两个积分吗？

这两个积分分别积，第一个是分步积分，第二个直接就积出来了呀呀呀呀呀！

追问

？？分布积分公式的'dx’ 在这里应是d2x 不是dx的吧

追答

我靠，你没寻d2x，那个cos2x能凑进去啊？