Question

已知抛物线y^2=2px,直线l斜率为k经过焦点f与抛物线交于A,B求1\AF+1\BF的值。

Answer 1

设抛物线y²=2px(p>0)，焦点坐标为F（p/2，0），A(x1，y1)，B(x2，y2)，
过点F的直线方程为x=my+(p/2)，
代入y²=2px，得y²=2pmy-p²=0，∴y1y2= -p²，
x1x2=(y1²/2p) (y2²/2p)=p²/4.

由抛物线的定义可知，AF=x1+(p/2)，BF=x2+(p/2)，
∴1/AF+1/BF
=1/[ x1+(p/2)]+1/[ x2+(p/2)]
=(x1+x2+p)/[x1x2+p(x1+x2)/2+(p²/4)] （通分化简）
将x1x2= p²/4，x1+x2=AB-p，代入上式，得
1/AF+1/BF=AB/[（p²/4）+p(AB-p)/2+(p²/4)]=2/p，
即1/AF+1/BF=2/p.