Question

如图，∠AOB=30度，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA，交OB于D，PE⊥OA，垂足为E，若OD=6cm，求PE的长

Answer 1

做PM⊥OB于M点则由角平分线定理（角平分线上的点到角两边的距离相等）得出PM=PE。现在实际上就是在求PM的长度了则根据直角三角形全等直角边、斜边定理得出Rt△OMP≌Rt△OEP
（OP=OP EP=MP ∠OEP=∠OMP）
∵PD‖OA ∴∠BOA=∠BDP=30°∴∠MPD=60°
∵OC平分∠BOA ∴∠BOC=15° ∴∠DPM=75° ∴∠DPO=15°∴OD=PD（等角对等边）
因为在含有30°角的直角三角形中，30°角所对边为斜边的一半
所以2MP=DP
∴2MP=OD
∵OD=4
∴MP=2

Answer 2

作DF⊥OA于F
因为DE⊥OA，DF⊥OA
所以DE//DF
又因为PD//OA
所以DFEP为平行四边形，所以DF=PE。
因为DF⊥OA。所以三角形ODF为直角三角形
因为∠AOB=30°，所以DF=1/2OD
因为OD=6
所以DF=3
所以PE=3

Answer 3

做PM⊥OB于M点则
PM=PE。(角平分线上的点到角两边的距离相等)
Rt△OMP≌Rt△OEP（OP=OP EP=MP ∠OEP=∠OMP）
∵PD‖OA
∴∠BOA=∠BDP=30°
∴∠MPD=60°
∵OC平分∠BOA
∴∠BOC=15°
∴∠DPM=75°
∴∠DPO=15°
∴OD=PD（等角对等边）
∵在含有30°角的直角三角形中，30°角所对边为斜边的一半
∴2MP=DP
∴2MP=OD
∵OD=6
∴MP=3
∴PE=MP=3

Answer 4

作PF⊥OB，PE=PF=1/2 DP = 1/2 OD=3cm