Question

两题不定积分求解过程。在线等，只要能解得出来，什么办法都行。解决了马上采纳。

1。若f'(linx)=x ;求f(x)=_________
2。∫1/(e^x+e^-x)dx 求解？

Answer 1

1。
f'(lnx) = x
f'(lne^x) = e^x
f'(x) = e^x
f(x) = ∫e^x dx = e^x + C

2。
∫1/(e^x + e^-x) dx
=∫e^x / (e^2x + 1) dx，上下乘以e^x
=∫ d(e^x) / [1 + (e^x)²]，根据公式∫dx / (1+x²) = arctanx + C，这里的x=e^x
=arctan(e^x) + C

追问

2. e^x/(e^(2x)+1)dx= de^x/(e^(2x)+1) 这两个怎么相等？？

追答

(e^x)dx = d(e^x)，这个是凑微分
其实将e^x积分进去的
再说导数知识
d(e^x)/dx = e^x，将dx移过去就是
d(e^x) = (e^x)dx

(e^x)dx = d(e^x)，这个是凑微分
其实将e^x积分进去的
再说导数知识
d(e^x)/dx = e^x，将dx移过去就是
d(e^x) = (e^x)dx

追问

de^x/(e^(2x)+1)=（e^x/e^2x * 2+1)dx 这个对不对？

追答

不，怎么e^2x变了个2出来？要变的话整个e^(2x)+1一起变，个体不能独立变化
我指的是只有分子参与凑微分过程，分母不用
所以d(e^x)/[e^(2x)+1] = e^x[e^(2x)+1]
d(e^x)里面的e^x是从分子上拉回去的，不是分母

追问

1.。 谁对？
2。e^(2x) 不是复合函数？=e^(2x) *2

追答

对于1，验算下就知道，
f'(linx)=x ;求f(x)
f(x)=e^x + C
f'(x)=e^x
f'(lnx)=e^(lnx)=x

如果f(x)=(1/2)e^(2x)
f'(x)=(1/2)*e^(2x)*2=e^(2x)
f'(lnx)=e^(2lnx)=e^(lnx²)=x²， 但答案是x

对于2，
e^(2x)会表示为(e^x)²
可能用换元法你会明白一些
对于∫e^x/[(e^x)²+1] dx
令u=e^x则du=(e^x) dx
所以∫1/[(e^x)²+1] * 【(e^x) dx】 = ∫1/(u²+1) * 【du】，留意粗体括号的转换
这时就可以用公式∫1/(1+u²) du = arctan(u) + C
如果不想用公式的话，可以令u=tanθ，则du=sec²θ dθ，代入计算后就会得到同样结果。

Answer 2

1。若f'(lnx)=x ;求f(x)=1/2e^(2x)+C
2。∫1/(e^x+e^-x)dx =∫e^x/(e^(2x)+1)dx= ∫de^x/(e^(2x)+1)= ∫du/(u^2+1)=arctanu+C=arctane^x+C

追问

1。麻烦详细过程能不能写一下？
2。de^x=e^xdx,,,,,,,,,,,但e^x/(e^(2x)+1)dx= de^x/(e^(2x)+1) 这两个怎么相等？？

追答

1.因为f'(lnx)=x，所以f（lnx）=1/2x²+C令x=e^t，得f（t）=1/2e^(2t)+C，即f(x)=1/2e^(2x)+C
2.这是基本的凑微分。e^xdx=d（e^x）