Question

高一数学 若X>0, 求X(1-3X)的最大值

还有4题类似的
2）求X√（1-2X^2)最大值
3）若X＞0，求X/X^2+1的最大值
4）若X＜0，求3X/X^2+X+1的范围
5）若X＞-1/2，求(2X+1)/X^2+X+1的最大值
^2的意思是平方

Answer 1

1. X(1-3X)=1/3*3X(1-3X)<=1/3*[(3x+1-3x)/2]^2=1/3*1/4=1/12
和为定值,积最大! 当3x=1-3x,即x=1/6时取最大值!
2.X√（1-2X^2)=√x^2（1-2X^2) (x>0否则不行)
=√1/2*(2x^2)（1-2X^2) 同第一题,2x^2=1-2x^2时取最大值,
此时2x^2=1/2
最大值=√1/2*1/2*1/2=√2/4
3. X/X^2+1=1/(x+1/x)
x+1/x>=2
所以
X/X^2+1=1/(x+1/x)<=1/2取最大值1/2.
4.3X/X^2+X+1=3/(x+1/x+1)
因为-x+1/(-x)>=2 (x<0)
所以x+1/x<=-2
从而3X/X^2+X+1=3/(x+1/x+1)>=3/(-2+1)=-3
又因为x<0,所以3X/X^2+X+1<0
所以
取值范围是:-3<=3X/X^2+X+1<0
5. (2X+1)/(X^2+X+1)
=4(2X+1)/(4X^2+4X+4)
=4(2x+1)/[(2x+1)^2+3]
=4/[(2x+1)+3/(2x+1)]
因为(2x+1)+3/(2x+1)>=2√3 (x>-1/2,有2x+1>0)
所以
(2X+1)/(X^2+X+1)=4/[(2x+1)+3/(2x+1)]<=4/2√3 =2√3/3
即最大值=2√3/3.

Answer 2

1、x(1-3x)=-3x^2+x=-3(x^2-2*x/6+1/36)+1/12=-3(x-1/6)^2+1/12,
当x=1/6时，有最大值为1/12.
2、原式=√(x^2-2x^4)
=√[-（x^4-x^2+1/4)+1/4]
=√[-(x^2-1/2)^2+1/4]
当x^2=1/2时根号内有最大值为1/4，
故原式有最大值为1/2。
3、x>0,x≠0，
x/(x^2+1)=1/(x+1/x),
当分母最小时分式最大，
而根据均值不等式，x+1/x≥2√(x*1/x)=2,
分母最小为2，分式最大为1/2。
则最大值为1/2。
4、x≠0，x<0,
3X/（X^2+X+1），
因为分母无论取何值，都是大于0，而x<0,
故范围是f(x)∈（-∞，0）。
5、原式=2（x+1/2)/[x+1/2)^2+3/4],
令t=x+1/2,
原式=2t/(t^2+3/4)=2/[t+3/(4t)],
对分母根据均值不等式，
t+3/(4t)≥2√[t*3/(4t)]=√3，
分母的最小值为√3，
故整个分式最大值为2/√3，即2√3/3。

Answer 3

这时个开口向下的抛物线，配方可得x（1-3x）=-3（x-1/6）^2+1/12，所以当x=1/6时取得最大值1/12

追问

后面几题呢

追答

第二个将分子分母都除以x，利用函数单调性就可以了
第三个将分子分母都除以x，这时候分子变成1，利用基本不等式求出分母最小值，带入得原式最大值

Answer 4

令f(x)=x（1-3x）=0，得x=0或x=1/3
0<x<1/3,两个小数相乘，仅当x=1-3x时，x=1/4，f取最大值1/16
1/3<x，f<0
故最大值为1/16
楼上的啊，人家都说x>0了，你还讨论小于0的

追问

那4题是另外的。。你这个是1），。。。呃。。帮帮忙，解下另外4个。。TMD，老师没教，就让我们做

追答

疏忽了，同意楼下的，1/12

追问

不会做啊 - -。。这课是基本不等式（2），能不能用那个知识来解这类题啊啊

追答

把式子用楼下的方法，化为类似 （x+常数）²+常数 的式子，就可以判断了

追问

那请问怎么化啊。。这带跟号和分母的，你帮我解下啊。。时间不多了

Answer 5

f(x)=x(1-3x)得出对称轴是x=1/6,所以在对称轴处取得最大值是1/12