Question

已知函数f(x)=lg（1+x）+lg（1-x），若f(x)=lgg(x),判断函数g(x)在（0,1）内的单调性并用定义证明。

Answer 1

由f（x）=lg(1+x)+lg(1-x)
=lg(1-x²)=lg[g（x）]，
∴g（x）=1-x²
令0＜x1＜x2＜1，
g（x1)-g（x2)
=1-x1²-（1-x2²）
=x2²-x1²
=（x2+x1)（x2-x1)
∵x2+x1＞0，x2-x1＞0，
∴x2²-x1²＞0
g（x1)-g（x2)＞0，
∴函数g（x）在区间（0，1）上是减函数。

Answer 2

∵f(x)=lgg(x)
∴g(x)=10^f(x)
设任意x1,x2∈(0,1)且x1<x2
g(x1)-g(x2)=10^f(x1)-10^f(x2)=(1+x1)(1-x1)-(1+x2)(1-x2)=x2^2-x1^2=(x2-x1)(x2+x1)>0
∴g(x1)>g(x2)
∴g(x)在(0,1)是一个减函数

楼上没用定义证明~

Answer 3

f(x)=lg(1+x)(1-x)=lg(g(X))
所以g(x)=(1+x)(1-x)=-x2+1
故g(x)在（0,1）为递减