Question

x>0,y>0,z>0,求证:√(x²+xy+y²)+√(y²+yz+z²)>x+y+z

Answer 1

先证明：√(x^2+xy+y^2)>=x+(y/2)
即证x^2+xy+y^2>=x^2+xy+(y^2/4)
即3y^2/4>=0显然成立
所以：√(x^2+xy+y^2)>=x+(y/2)
同理：√(y^2+yz+z^2)>=z+(y/2)
相加即得证√(x²+xy+y²)+√(y²+yz+z²)>x+y+z

Answer 2

先等号左右两边同时平方，在进行一下比较
x^2+xy+y^2>=x^2+xy+(y^2/4)
即3y^2/4>=0显然成立
所以：√(x^2+xy+y^2)>=x+(y/2)
同理：√(y^2+yz+z^2)>=z+(y/2)
相加即得证√(x²+xy+y²)+√(y²+yz+z²)>x+y+z

Answer 3

首先要看下由ABCD组成的是不是长方形，若不是长方形而是梯形则不可求。
若是长方形则：由条件可以推出，以AO为半径的圆面积：S圆=100π。
因为圆半径相同，所以AO=AE，可以推出AG=EG=BH=FH=5√2,AGE和BHF组成的三角面积共为S=50
图中，阴影部分为半个圆减去两个三角形的面积构成，所以，阴影的面积=50π-50