Question

今年全国数学竞赛题一道。高分求解！高手来。

设A是一个3*9的方格表，在每一个小方格内填一个正整数，称A中的一个m*n(1<=m<=3,1<=n<=9)方格表为：好矩形，若它的所有数的和为10的倍数，称A中的一个1*1的小方格为：坏格，若它不包含于任何一个好矩形，求A中坏格个数的最大值。
今天刚考完。全国数学竞赛最后一题。
求解。
（想从网上COPY答案的朋友还是算了吧，这道题今天刚出来，网上搜不到）

Answer 1

答案是26个，也就是只有一个好矩形
26个的情况很容易构造：3*9的矩形格子最中间的一个是0，其他全都是1，此时除了0格子自己，没有任何矩形内的数之和能被10整除。
下面只需证明不可能有一种填法，使所有的矩形内数字和都不被10整除。
反证法。设一种填法满足上述条件。设a1,a2...a9和b1,b2..b9分别代表第1,2行的前1-9个格中的数字和模9的余数。则这9个ai和bi的9个数必定模10两两不同余。否则若有两个相同，将两数相减能被10整除，代表有一段格子的数字和能被10整除。也就是说ai、bi分别是1-9的一个排列。考虑前两行的矩形的情况，即考查a1+b1,a2+b2,...a9+b9，此9数也必定模10两两不同余。否则和上面的论断一样，能找到一段矩形的数字和被10整除。即ai+bi是1-9的一个排列，所以有a1+b1+a2+b2+...+a9+b9=1+2+...+9=45是奇数。但，a1+b1+a2+b2+...+a9+b9=2*（1+9）*9/2=90是偶数，矛盾。

上面的步骤有的等号应该是同余号，这里打不出来。
现在保送名额已经大幅减少了，还有人对竞赛这么热衷

追问

首先很感谢这位朋友你的热心解答。
这个题我在考场里想了近2个钟头，想必你也花费了大量时间，再次表示感谢。
但是，你的回答虽然很详细，但是有一个漏洞。
即0不为正整数。而题目要求是将正整数填入方格A。

Answer 2

答案是26个，也就是只有一个好矩形
26个的情况很容易构造：3*9的矩形格子最中间的一个是0，其他全都是1，此时除了0格子自己，没有任何矩形内的数之和能被10整除。
下面只需证明不可能有一种填法，使所有的矩形内数字和都不被10整除。
反证法。设一种填法满足上述条件。设a1,a2...a9和b1,b2..b9分别代表第1,2行的前1-9个格中的数字和模9的余数。则这9个ai和bi的9个数必定模10两两不同余。否则若有两个相同，将两数相减能被10整除，代表有一段格子的数字和能被10整除。也就是说ai、bi分别是1-9的一个排列。考虑前两行的矩形的情况，即考查a1+b1,a2+b2,...a9+b9，此9数也必定模10两两不同余。否则和上面的论断一样，能找到一段矩形的数字和被10整除。即ai+bi是1-9的一个排列，所以有a1+b1+a2+b2+...+a9+b9=1+2+...+9=45是奇数。但，a1+b1+a2+b2+...+a9+b9=2*（1+9）*9/2=90是偶数，矛盾。

Answer 3

如图

追问

。。。这图V5了。这图哪来的？感觉像标答啊。

追答

是标答，我在的一个群，早共享了

Answer 4

33

追问

3X9=27一共27个格子，哪来33个坏格？