Question

设k是给定的正整数,证明:任一正整数n必可以惟一表示为n=ab^k

其中a,b,为正整数,以及不存在d>1,使得d^k|a

Answer 1

将n做质因数乘积分解，并按指数从大到小排列，假设
n=p1^r1 * p2^r2 * ... *pm^rm，
其中p1,p2,...,pm是不同的素数，而r1>=r2>=...>=rm是正整数，且可以等于1；（这样p1,p2,....,pm就不一定有大小顺序了）。
对给定的k，设r1=s1*k+t1，r2=s2*k+t2，...，rm=sm*k+tm，其中t1,t2,...,tm都大于等于0且小于k，那么令a1=p1^t1, b1=p1^s1， a2=p2^t2, b2=p2^s2， ...， am=pm^tm, bm=pm^sm，
再令a=a1*a2*...*am，b=b1*b2*...*bm，就有
n=a*b^k，并且a,b,为正整数,且不存在d>1,使得d^k|a。

Answer 2

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