Question

设奇函数f(x)是(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式f(x)-f(-x)/x<0的解集

Answer 1

f(x)为奇函数，则f(－x)=－f(x)，f(－1)=f(1)=0
奇函数f(x)是(0,+∞)上为增函数，则当x<-1或0<x<1时f(x)<0；当-1<x<0或x>1时f(x)>0
f(x)－f(－x)/x
=f(x)+f(x)/x
=f(x)(1+1/x)
=f(x)(x+1)/x<0
（1）当-1<x<0或x>1时f(x)>0
则(x+1)/x<0 → -1<x<0
所以 -1<x<0
（2）当x<-1或0<x<1时f(x)<0
则(x+1)/x>0 → x>0或x<-1
所以x<-1或0<x<1
综上原不等式的解集为x<-1或-1<x<0或0<x<1

追问

我觉得是（-1,0）∪（0,1）

追答

x<-1也可以哦，过程如上面的
你可以把F(x)草图画出来看看，它是关于原点对称的

Answer 2

f(x)-f(-x)/x<0
奇函数f(x),f(1)=0
变形：f(x)-f(-x)/x=f(x)+f(x)/x
分类讨论：
x>0时，
x<0