Question

计算二重积分xydσ,其中D是单位圆x²+y²≤1在第一象限的部分。要详细过程

计算二重积分xydσ,其中D是单位圆x²+y²≤1在第一象限的部分。要详细过程，谢谢。

Answer 1

解题过程如下：

0≤x≤√（1-y²），0≤y≤1，∫∫xydσ

=∫[0，1]dy∫[0，√（1-y²）]xydx

=（1/2）∫[0，1]dy[（1-y²）y-0]

=（1/2）∫[0，1]ydy-（1/2）∫[0，1]y^3dy

=（1/4）-（1/8）

=1/8

扩展资料：

二重积分解题技巧：

二重积分计算的关键是对变量积分的区间的确定，积分区域分为矩形区域，X-型区域和Y-型区域。X-型区域=D[a<=x<=b，y1（x）<=y<=y2（x）]，

方法是：

将区域D图形投影在X轴上，投影区间为[a，b]，既a<=x<=b；任取x属于[a，b]，过x轴上点x，作x轴垂线，与区域D图形边界曲线交于两点；

下交点[x，y1（x）]和上交点[x，y2（x）]，既下交点在曲线y=y1（x）上，上交点在y=y2（x） 上，从而y1（x）<=y<=y2（x），此时先对y积分，后对x积分。y-型区域方法相同。