Question

数学排列组合问题（急，加分）

有m个小球（完全一样，无法辨认之间的区别，即交换任意小球位置后的情况与原来属同种情况）放在n个盒子里，每个盒子可以放一个或多个小球或不放。问排列组合公式求多少种情况？
答案是C（m）（m+n-1)。【因为不好打公式，就用这种方法代替了，希望大家解释一下为什么答案是这样的，加分】

Answer 1

有m个小球（完全一样，无法辨认之间的区别，即交换任意小球位置后的情况与原来属同种情况）放在n个盒子里，每个盒子可以放一个或多个小球或不放。问排列组合公式求多少种情况？

分析：在排列组合中，有一种类型的题目，即属于相同元素（或者说相同的东西）分配问题，其典型解法采用插板法
为了理解这种方法，不仿设m=3,n=2
即有3个小球，放在2个盒子里，每个盒子可以放一个或多个小球或不放。问排列组合公式求多少种情况？
将3个球排成一排，球与球之间形成2个空隙，用1个插板分别插入某二个空隙中（每空至多插一块插板），则插板将这一列球分成的左、右二部分，每部分的球数即分别盒子中的球数，即所谓的插板法
考虑到盒子中可以不放球，在应用上述方法时需要变通一下，加入2个小球，共5个球排成一排，球与球之间形成4个空隙，用2-1个插板分别插入某二个空
则共有C(1,4)=4种情况,即(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)

回到正题
即有m个小球，放在n个盒子里，每个盒子可以放一个或多个小球或不放。问排列组合公式求多少种情况？
解析：考虑到盒子中可以不放球，在应用上述方法时需要变通一下，加入n个小球，共m+n个球排成一排，球与球之间形成m+n-1个空隙，用n-1个插板分别插入某n-1个空中，形成n个部分放入n个盒子中
则共有C(n-1,m+n-1)=C(m,m+n-1)种情况

Answer 2

就是说，你可以想象一共有m+n个球，
然后这m+n个球一字摆开，一共有m+n-1个间隔
然后从这m+n-1个间隔中选n-1个将这些球分成n组
现在每一组取出一个球
这样的话，还是m个球，但是却包含了某些盒子没球的情况
这样也没有改变情况的种数
所以所有的情况就是C(m+n-1,n-1)=C(m+n-1,m)