Question

方程4x的平方-2xy-12x+5y+11=0有几组正整数解

Answer 1

解答：原方程变形得：4x²－2﹙y＋6﹚x＋5y＋11=0，
则Δ=[－2﹙y＋6﹚]²－4×4﹙5y＋11﹚=4﹙y²－8y－8﹚，
∵x、y都是正整数，∴Δ一定是某正整数的平方，
∴可设y²－8y－8=p²，则﹙y－4﹚²=p²＋24，
∴再设p²＋24=q²，
∴q²－p²=24，
∴﹙q＋p﹚﹙q－p﹚=24，
∵﹙q＋p﹚、﹙q－p﹚同奇同偶，
∴只有两种情况：
⑴q＋p=12，q－p=2，解得：q=7，p=5，
⑵q＋p=6，q－p=4，解得：q=5，p=1，
∴Δ=10²或2²，∴y=14或6或2，
∴当Δ=10²，y=14时，x=[2﹙y＋6﹚±Δ]／﹙2×4﹚=﹙20±5﹚／4不是正整数。∴这种情况无解。当Δ=2²，y=6时，x=[2﹙y＋6﹚±Δ]／﹙2×4﹚=﹙12±1﹚／4不是正整数，∴这种情况无解。当Δ=2²，y=2时，x=﹙8±1﹚／2不是正整数，∴这种情况也无解。∴综上这个方程没有正整数解。

Answer 2

推荐答案显然是错误的：
做法如下：
4x²-2xy-12x+5y+11=0

4x²-12x+11=2xy-5y

4x²-12x+5+6=y(2x-5)
(2x-1)(2x-5)+6=y(2x-5)
y=2x-1+6/(2x-5)
保证6/(2x-5)是正整数。解得x=3或4

当x=3，y=11
当x=4，y=9.
可验证两者均是方程的解。