Question

有关于·±1的性质 题目

1.已知x1, x2, ... , xn都是+1或-1，n≥4并且x1x2x3x4+x2x3x4x5+ ...+xnx1x2x3=0。求证n是4的倍数。
2.代数式 rvz - rwy -suz +swx +tuy -tvx中r、s、t、u、v、w、x、y、z可以分别取+1或-1。
证明代数或的值都是偶数。
求证这个代数或所能取到的最大值。

Answer 1

1.
先证明n=2k为偶数，再证k也是偶数．

由于x1，x2，…，xn。的绝对值都是1，所以，x1x2，x2x3，…，xnx1的绝对值也都是1，即它们或者为+1，或者为-1．设其中有k个-1，由于总和为0，故+1也有k个，从而n=2k．

下面我们来考虑(x1x2)·(x2x3)…(xnx1)．一方面，有(x1x2)·(x2x3)…(xnx1)＝(-1)k，

另一方面，有

(x1x2)·(x2x3)…(xnx1)=(x1x2…xn)2=1．

所以(-1)k=1，故k是偶数，从而n是4的倍数．