Question

多元函数的两道小题

一、设u=f(x,y,z) ,z=z(x,y), 由φ(x²,e^y,z)=0确定，y=sin x,其中f,φ都有一阶连续偏导数，且əφ/əz≠0,求du/dx 请写详细过程，谢谢
符号ə是从搜狗的特殊符号中的英文音标找来的，呵呵，感谢搜狗
二、设y=y(x), z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dz/dx
请写过程，非常感谢
第一题答案是f1′+f2′ cosx－f3′/φ3′(2xφ1′+φ2′e^y cosx)
第二题答案：[(f+xf′)Fy′－xf′ Fx′]/(Fy′+xf′Fx′) (Fy′+xf′Fx′≠0)

Answer 1

1.φ(x²,e^y,z)=0 => φ(x²,e^(sinx),z(x,sinx))=0 => dφ/dx=2xφ1'+(cosx)e^y*φ2'+φ3'[dz(x,sinx)/dx]=0,
由题干知:φ3'≠0,则dz(x,sinx)/dx=-[2xφ1'+(cosx)e^y*φ2']/φ3' ------------ ①式
u=f(x,y,z)=f(x,sinx,z(x,sinx)),du/dx=df(x,sinx,z(x,sinx))/dx=f1'+f2'cosx+f3'(dz(x,sinx)/dx)
把①式带进来就可以得到结果了。

2.把F,y,z都看成x的函数(注:F1',F2',F3'即是答案中的Fx′,Fy′,Fz′)
z=xf(x+y),对x求导,dz/dx=f+xf'+xf'y'(x); ------------ ①式
F(x,y(x),z(x))=0,对x求导,F1'+F2'y'(x)+F3'(dz/dx)=0,将①式代入得到：
F1'+F2'y'(x)+F3'(f+xf'+xf'y'(x)))=0，解出y'(x)=-(F1'+F3'f+F3'xf')/(F2'+F3'xf') --------- ②式
将②式代入①式得到dz/dx=f+xf'+xf'[-(F1'+F3'f+F3'xf')/(F2'+F3'xf')]
通分然后计算=[(f+xf')F2'-xf'F1']/[F2'+F3'xf']

第二题跟你的答案有点出入，我答案的分母是Fy′+xf′Fz′,