Question

求f(x)并求上述全微分方程的通解

没看懂？？求解释，，当x=e^t之后怎么得到后一个等式的？？？？？？？？

Answer 1

解答：∵令x=e^t，则t=lnx
∴dt/dx=1/x
∵f'(x)=df(x)/dx=[df(x)/dt][dt/dx]=(1/x)[df(x)/dt]=f'/x (f'表示df/dt)
∴xf'(x)=f'..........(1)
∵f''(x)=d(f'/x)/dx=(1/x)(df'/dt)(dt/dx)+f'(1/x)'=(df'/dt)/x²-f'/x²=(f''-f')/x² (f''表示d²f/dt²)
∴x²f''(x)=f''-f'...........(2)
故把(1)和(2)代入x²f''(x)+2xf'(x)-2f(x)+3x³=0，得f''+f'-2f=-3e^(3t)。

追问

f''+f'-2f=-3e^(3t) 中的f'和f''的因变量是t，可是f为f(x)不是f(t).....??????

追答

你说错了！f'和f''的因变量是仍然是x，而变量t(=lnx)是中间变量。

追问

可是f'不是表示df/dt？？？？

追答

f'就是表示df/dt。实际上，f''+f'-2f=-3e^(3t)中的f''和f'都是表示关于t的导数。
不然，f''+f'-2f=-3e^(3t)这个方程的通解怎么会是f(t)=C1e^(-2t)+C2e^t-(3/10)e^(3t)呢？

追问

我的意思是f'是表示df/dt，但是f表示的是f(x)不是f(t).f''+f'-2f(t)=-3e^(3t)的解才是上面那个吧。。而f''+f'-2f(x)=……怎么算？

追答

你怎么还没有懂呢？虽然表面上看，f像是f(x)，而不是不是f(t)。但是，我们已经令x=e^t。f(x)通过变换x=e^t，变成f(e^t)函数。