Question

如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，求证：四边形AEDF是菱形

Answer 1

证明：
∵DE∥AC，DF∥AB
∴AEDF是平行四边形
∴∠AED=∠AFD
又∵∠EAD=∠FAD，AD=AD
∴⊿AED≌⊿AFD（AAS）
∴AE=AF【邻边相等的平行四边形是菱形】
∴四边形AEDF是菱形

Answer 2

解：（1）证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴DE∥AF，DF∥AE，
∴四边形AEDF是平行四边形（有两组对边相互平行的四边形是平行四边形），
∴∠EAF=∠EDF（平行四边形的对角相等）；
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠EDA（平行四边形的对角线平分对角），
∴AE=ED（等角对等边），
∴四边形AEDF是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）；

（2）由（1）知，四边形AEDF是菱形，
∵当四边形AEDF是正方形时，∠EAF=90°，即∠BAC=90°，
∴△ABC的∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形．