Question

基本不等式,求函数y=2x/x^2+1的值域

Answer 1

高一用判别式
显然x=0， y=0
y≠0时，yx^2-2x+y=0方程必有根
则(-2)^2-4y*y>=0
0<y^2<=1, :. -1=<y<=1. 且y≠0
又y=0是函数的值，所以 -1=<y<=1

高二可以用均值不等式，
y=2/(x+1/x). y≠0
当x>0 x+1/x>=2, :. 1/(x+1/x)<=1/2, :. y=2/(1+1/x)<=1
同理x<0, y>=-1
显然x=0, y=0
故y属于[-1,1]

Answer 2

y=2x（/x^2+1）=2/(x+1/x)
x﹥0时，x+1/x≥2
0﹤2/(x+1/x)≤1
x﹤0时
x+1/x≤-2
-1≤2/(x+1/x)＜0
x=0时
2x/（x^2+1）=0
所以值域
[-1,,1]
还可以采用判别式法，化成
yx²-2x+y=0
y=0时，方程有解
y≠0时
△≥0
4-4y²≥0
-1≦y≤1
【1-，1】