Question

函数极限问题，证明题

Answer 1

不知道你看的书上对函数极限是怎么理解的，现在按我的理解证明一下：

f(x)当x→x0时极限存在

对任意数列 {a[n]}，lim a[n] = x0, 满足：
数列{f(a[n])}极限都存在并且相等

f(x)当x→x0左极限存在

对任意数列 {a[n]}，a[n] < x0，lim a[n] = x0, 满足：
数列{f(a[n])}极限都存在并且相等

f(x)当x→x0右极限存在

对任意数列 {a[n]}，a[n] > x0，lim a[n] = x0, 满足：
数列{f(a[n])}极限都存在并且相等

证明：

(i)
函数f(x)当x→x0时极限存在 => 左极限和右极限各自存在并且相等
显然（分别取小于x0和大于x0的数列就行了，他们的函数值极限都存在且相等）

(ii)
<=
任取一数列{a[n]}，满足lim a[n] = x0.
把{a[n]}中大于x0的项提取出来，若有无限项，则构成一子列，记为{b[n]}，
则有lim b[n] = x0，因为f(x)右极限存在，所以数列{f(b[n])}极限存且为定值；
把{a[n]}中小于x0的项提取出来，若有无限项，则构成一子列，记为{c[n]}，
则有lim c[n] = x0，因为f(x)左极限存在，所以数列{f(c[n])}极限存且为定值。
若上述只有一个为无限项，则f(a[n])的极限即为该子列的极限。
若两个都有无限项，则由“左极限和右极限相等”得lim f(b[n]) = lim f(c[n])，所以lim f(a[n])存在且 = lim f(b[n]) = lim f(c[n]).
所以f(a[n])的极限始终存在且为定值。
所以f(x)当x→x0时极限存在。

证完

写的不是很完整，差不多这个意思了。

Answer 2

证明：
分析，本题是极限保号性定理，不能直接用定理，需要使用别的方法证明！
根据题意，lim(x→x0) g(x) =A

∴对于∀ε>0，∃δ’>0，当0<|x-x0|<δ’时，
|g(x)-A|<ε成立
取ε=A/2，则，必然∃δ>0，当0<|x-x0|<δ时，
|g(x)-A|<A/2成立
因此：
g(x)>A-A/2=A/2>0

即：
g(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0) > 0
i)
当x∈（x0-δ，x0）时：
x-x0<0
显然：f(x)-f(x0)<0
即：f(x)<f(x0)
ii)
当x∈（x0,x0+δ）时：
x-x0>0
显然：f(x)-f(x0)>0
即：f(x)>f(x0)
证毕！

追问

这一段是什么原理可以说一下吗？

追答

这是最基本的，没有什么原理~