Question

如图 在△ABC中，∠BAC=90° AD⊥BC于D，CE平分∠ACB交AD于G ， 交 AB于E，EF⊥BC于F， 求证：四边形AEFG

如图 在△ABC中，∠BAC=90° AD⊥BC于D，CE平分∠ACB交AD于G ， 交 AB于E，EF⊥BC于F， 求证：四边形AEFG是菱形

Answer 1

∵EF⊥BC ∠BAC=90°
∴△AEC与△FEC同是直角三角形且共斜边CE
又∵CE平分∠ACB ∠ACE=∠FCE
∴△AEC≌△FCE ∴AE=FE AC=FC

∵AC=FC ∠ACE=∠FCE △ACG与△FCG共边CG
∴△ACG≌△FCG
∴AG=FG 加上AE=FE
∴四边形AEFG是菱形

Answer 2

证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠B=∠CAD，
∵CE平分∠ACB，EF⊥BC，∠BAC=90°（EA⊥CA），
∴AE=EF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵CE=CE，
∴由勾股定理得：AC=CF，
∵△ACG和△FCG中
AC=CF∠ACG=∠FCGCG=CG​∴△ACG≌△FCG，
∴∠CAD=∠CFG，
∵∠B=∠CAD，
∴∠B=∠CFG，
∴GF∥AB，
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥EF，
即AG∥EF，AE∥GF，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵AE=EF，
∴平行四边形AEFG是菱形．

Answer 3

易证三角形ACE全等于三角形CEF
得出AE=EF 角AEC=角CEF
又AD平行EF 所以角AGE=角GEF
又前面那三个角都相等 所以三角形AGE是等腰
所以AG=AE=EF 所以AG平行且等于EF
所以四边形AGFE是平行四边形 但是AE=EF
故它是菱形

Answer 4

楼上的错了，怎么AE=FE，AG=FG这两条件就能证出来呢，你必须还要证出AG=EF，或AE=DF，这样才能通过AE=FE=AG=FG证出。

Answer 5

∵EF⊥BC ∠BAC=90°
∴△AEC与△FEC同是直角三角形且共斜边CE
又∵CE平分∠ACB ∠ACE=∠FCE
∴△AEC≌△FCE ∴AE=FE AC=FC

∵AC=FC ∠ACE=∠FCE △ACG与△FCG共边CG
∴△ACG≌△FCG
∴AG=FG 加上AE=FE
∵∠AGD=90°-∠GCD,∠AEC=90°-∠ACE
∵∠ACE=∠GCD∴∠AGD=∠AEC∴AE=AG
综上所述，该四边形为菱形