Question

高二解析几何

已知m＞1，直线l：x-my-m²/2=0，椭圆C：x²/m²+y²=1，F1、F2分别为椭圆C的左右两焦点。
设直线l与椭圆C交于A,B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G，H，若原点O在以线段GH为直径的园内，求实数m的取值范围

Answer 1

解：联立直线和椭圆方程，消去x并化简得：
2·y^2＋m·y＋m^2/4－1=0 …………（*）
直线l与椭圆C交于A,B两点，则上式根的判别式大于0.
即
m^2－8·(m^2/4－1)>0
得 －2√2 ＜ m ＜ 2√2 …………（**）
设A（a，b），B（c，d），则G（a/3，b/3），H（c/3，d/3）
以线段GH为直径的圆是（x－a/3）（x－c/3）＋（y－b/3）（y－d/3）=0
原点O在以线段GH为直径的圆内，则a·c+b·d<0.
a=m·b＋m²/2，c=m·d＋m²/2，代入上式整理得
（1＋m^2）b·d＋m^3·(b＋d)/3＋m^4/4<0 …………（***）
而由韦达定理b、d是方程（*）的根，从而
b＋d=-m/2，b·d=m^2/8 －1/2，带入（***）化简得
(m＋2)(m－2)(m^2＋1)<0
-2＜m ＜2 …………（****）
由题中条件m＞1
结合m ＞ 1，－2 ＜ m ＜ 2 ，－2√2 ＜ m ＜ 2√2 得
m的取值范围是 1 ＜ m ＜ 2