高二解析几何
已知m>1,直线l:x-my-m²/2=0,椭圆C:x²/m²+y²=1,F1、F2分别为椭圆C的左右两焦点。设直线l与椭圆C交于...
已知m>1,直线l:x-my-m²/2=0,椭圆C:x²/m²+y²=1,F1、F2分别为椭圆C的左右两焦点。
设直线l与椭圆C交于A,B两点,△AF1F2,△BF1F2的重心分别为G,H,若原点O在以线段GH为直径的园内,求实数m的取值范围 展开
设直线l与椭圆C交于A,B两点,△AF1F2,△BF1F2的重心分别为G,H,若原点O在以线段GH为直径的园内,求实数m的取值范围 展开
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解:联立直线和椭圆方程,消去x并化简得:
2·y^2+m·y+m^2/4-1=0 …………(*)
直线l与椭圆C交于A,B两点,则上式根的判别式大于0.
即
m^2-8·(m^2/4-1)>0
得 -2√2 < m < 2√2 …………(**)
设A(a,b),B(c,d),则G(a/3,b/3),H(c/3,d/3)
以线段GH为直径的圆是(x-a/3)(x-c/3)+(y-b/3)(y-d/3)=0
原点O在以线段GH为直径的圆内,则a·c+b·d<0.
a=m·b+m²/2,c=m·d+m²/2,代入上式整理得
(1+m^2)b·d+m^3·(b+d)/3+m^4/4<0 …………(***)
而由韦达定理b、d是方程(*)的根,从而
b+d=-m/2,b·d=m^2/8 -1/2,带入(***)化简得
(m+2)(m-2)(m^2+1)<0
-2<m <2 …………(****)
由题中条件m>1
结合m > 1,-2 < m < 2 ,-2√2 < m < 2√2 得
m的取值范围是 1 < m < 2
2·y^2+m·y+m^2/4-1=0 …………(*)
直线l与椭圆C交于A,B两点,则上式根的判别式大于0.
即
m^2-8·(m^2/4-1)>0
得 -2√2 < m < 2√2 …………(**)
设A(a,b),B(c,d),则G(a/3,b/3),H(c/3,d/3)
以线段GH为直径的圆是(x-a/3)(x-c/3)+(y-b/3)(y-d/3)=0
原点O在以线段GH为直径的圆内,则a·c+b·d<0.
a=m·b+m²/2,c=m·d+m²/2,代入上式整理得
(1+m^2)b·d+m^3·(b+d)/3+m^4/4<0 …………(***)
而由韦达定理b、d是方程(*)的根,从而
b+d=-m/2,b·d=m^2/8 -1/2,带入(***)化简得
(m+2)(m-2)(m^2+1)<0
-2<m <2 …………(****)
由题中条件m>1
结合m > 1,-2 < m < 2 ,-2√2 < m < 2√2 得
m的取值范围是 1 < m < 2
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