Question

a,b为正实数，且-a<x<b.求y=(x+a)(x-b)的最大值！

要过程的！

Answer 1

方法（一）：—— 二次式配方法
解：
y=(x+a)(x-b)
y=x²+(a-b)x-ab
y=[x+(a-b)/2]²-ab-(a-b)²/4
y=[x+(a-b)/2]²-(a²+b²+2ab)/4
y=[x-(b-a)/2]²-(a+b)²/4
∵ -a<x<b
∴ 当x不断趋近 -a 时，y的值越来越大。假设x= -a，则 y=(a+b)²/4 - (a+b)²/4 = 0
当x不断趋近 b 时，y的值越来越大。假设x= b，则 y=(a+b)²/4 - (a+b)²/4 = 0
∴ a，b为正实数，且-a<x<b，y=(x+a)(x-b)没有最大值，只是y值由负值无限趋近于0。

方法（二）：—— 代数式讨论分析法
解：
∵ a，b为正实数，且-a<x<b
∴(x-b)＜0，(x+a)＞0
∴ y=(x+a)(x-b)＜0
∴ 当x不断趋近 -a 时，y的值越来越大。假设x= -a，则 y=(a+b)²/4 - (a+b)²/4 = 0
当x不断趋近 b 时，y的值越来越大。假设x= b，则 y=(a+b)²/4 - (a+b)²/4 = 0
∴ a，b为正实数，且-a<x<b，y=(x+a)(x-b)没有最大值，只是y值由负值无限趋近于0。

方法（三）：—— 二次函数图像分析法
解：
y=(x+a)(x-b)，整理得：
y=x²+(a-b)x-ab
∴ y=x²+(a-b)x-ab的图像是开口朝上的抛物线
其与x轴有两个交点，即（-a，0）（b，0）
又∵ -a<x<b
∴ 根据二次图像的性质y=(x+a)(x-b)无最大值，只是当x不断趋近 -a 或b时，y值由负值无限趋近于0。

方法（四）：—— 函数单调性分析法
解：
y=(x+a)(x-b)，整理得：
y=x²+(a-b)x-ab
根据顶点坐标公式可得：抛物线的顶点坐标是（ (b-a)/2，-(a+b)²/4 ）
即当x=(b-a)/2时，y取得最小值-(a+b)²/4
当x∈（-a， (b-a)/2] 函数单调递减，当x∈[ (b-a)/2，b） 函数单调递增。
∵ -a<x<b
∴ y=(x+a)(x-b)无最大值，只是当x不断趋近 -a 或b时，y值由负值无限趋近于0。

备注：
（1）上面题，若将-a<x<b，即x∈（-a，b），改成x∈[-a，b）或x∈（-a，b]或x∈[-a，b]，函数y=(x+a)(x-b)皆存在最大值，即函数的最大值为0。
（2）以上的解题方法的命名，只是为了区分方法而命名，不一定恰当。

Answer 2

明显是0啊 ，x在-a 到b 之间不管去什么值y 都小于0，只有当x 取-a 或b 时y =0

Answer 3

y=(x+a)(x-b)=x平方-(b-a)x-ab=[x-（b-a）/2]平方-（a平方-2ab+b平方）/4-ab
当x=（b-a）/2时取最大值，x=-（a平方-2ab+b平方）/4-ab=-（a平方+2ab+b平方）/4
=-（a+b）平方/4