Question

如何证明：与任意一个n阶方阵相乘都可交换的方阵必为数量矩阵？请给出详细的证明过程。谢谢！

Answer 1

证: 设 A=(aij) 与任意的n阶矩阵可交换, 则A必是n阶方阵.

设Eij是第i行第j列位置为1,其余都是0的n阶方阵.
则EijA = AEij
EijA 是 第i行为 aj1,aj2,...,ajn, 其余行都是0的方阵
AEij 是 第j列为 a1i,a2i,...,ani, 其余列都是0的方阵
所以当i≠j时, aij=0.
所以A是一个对角矩阵.

设E(i,j)是对换i,j两行的初等矩阵.
由E(i,j)A=AE(i,j)可得
aii=ajj

所以A是主对角线元素相同的对角矩阵, 即数量矩阵.

Answer 2

不妨设b为可逆矩阵
则由于ab=ba
所以
对于任意可逆阵b都有
b-1ab=a
即a的任意线性变换仍是a自己这样的矩阵只能是ki

Answer 3

楼上正解