Question

若函数y=1/2x²-x+3/2的定义域和值域都是[a,b],求a与b的关系。

Answer 1

y=(1/2)(x-1)²+1
为开口向上的抛物线
对称轴x=1
1. a≥1时 单增
则f(x)最小=f(a)=(1/2)(a-1)²+1=a
f(x)最大=f(b)=(1/2)(b-1)²+1=b
解得a=1 b=3
2. b≤1时 单减
则f(x)最大=f(a)=(1/2)(a-1)²+1=b
f(x)最小=f(b)=(1/2)(b-1)²+1=a
两式相减a+b=0
3. a≤1≤b时
则f(x)最小=f(1)=1=a
f(x)最大=f(b)=(1/2)(b-1)²+1=b
解得a=1 b=3
综上：a=1,b=3或a+b=0, b≤1

Answer 2

本题目需要围绕对称轴进行讨论。
先求对称轴：-b/2a=1
当b<=1时说明a,b在对称轴左边，最大值为fa,最小值为fb,
即f(a)=b f(b)=a代入得
2b=a²-2a+3
2a=b²-2b+3
解这个方程得到:把上面的-下面就可以得2(b-a)=(a-b)(a+b)-2(a-b)除以b-a
2=2-(a+b) a+b=0 a=-b且a<b<1

当a>=1时说明a,b在对称轴的右边，最大值为fb,最小值为fa
即f(a)=a f(b)=b代入得
2a=a²-2a+3
2b=b²-2b+3
解两个方程得到 a²-4a+3=0 b²-4b+3=0
a1=3 a2=1 b1=1,b2=3
要使成立只有让a=1,b=3才可以，验算后是正确的。

最后种可能就是a<1<b
就是说对称轴在a,b区间内
那么最小值就是在对称轴上的值，而最大值或者是a,或者是b上的值
先算对称轴上的值f(1)=1=a
这说明a=1了，但是与a<1<b矛盾了。

综上知道：a=1,b=3或者a=-b且b<=1