Question

当x趋向正无穷时，(2^x+3^x)^(1/x)的极限是？

Answer 1

解 因为 lim(2^x+3^x)^(1/x)
>lim(3^x)^1/x
=3
又lim(2^x+3^x)^(1/x)
<lim(3^x+3^x)^1/x
=lim(2*3^x)1/x
=lim2^1/x*lim(3^x)^1/x
=3
所以当x趋向正无穷时，(2^x+3^x)^(1/x)的极限是3

追问

我知道可以用夹那个定理，但是我希望知道的是(2^xln2 + 3^xln3)/(2^x+3^x) = [(2/3)^x ln2 + ln3] / [(2/3)^x +1] 是为什么，用到了什么公式和知识。谢谢了

追答

求极限 夹逼法则是最好的。他那步是算出来的 分子分母同时除以3^x
实际导数什么的半天还是回到了这个夹逼法则 最后还是要把小的省去留下大的。

追问

我晕，原来如此。呵呵。谢谢了。我还有一题不定积分想问你，可以吗？

追答

那个我不怎么会了 大学学过都忘记了。。不好意思。

追问

哦。谢谢你了

Answer 2

解法一：原式=lim(x->+∞){3[1+(2/3)^x]^(1/x)}
=3(1+0)^(0)
=3；
解法二：原式=lim(x->+∞){e^[ln(2^x+3^x)/x]}
=e^{lim(x->+∞)[ln(2^x+3^x)/x]}
=e^{lim(x->+∞)[(2^xln2+3^xln3)/(2^x+3^x)]} (∞/∞型极限，应用罗比达法则)
=e^{lim(x->+∞)[((2/3)^xln2+ln3)/((2/3)^x+1)]}
=e^[(0+ln3)/(0+1)]
=e^(ln3)
=3。

追问

(2^xln2 + 3^xln3)/(2^x+3^x) = [(2/3)^x ln2 + ln3] / [(2/3)^x +1] 是怎么回事啊。知道了同除以3^x.呵呵，谢谢你们了。

Answer 3

y=(2^x + 3^x)^(1/x)
lny = ln(2^x+3^x)/x
应用罗毕达法则，
lny = (2^xln2 + 3^xln3)/(2^x+3^x) = [(2/3)^x ln2 + ln3] / [(2/3)^x +1] = ln3

追问

(2^xln2 + 3^xln3)/(2^x+3^x) = [(2/3)^x ln2 + ln3] / [(2/3)^x +1] 我就是这步不懂。麻烦讲得详细点，用到哪些知识公式什么的。谢谢了