Question

已知函数f(x)=a-1/2^x+1，(x属于R）.

1.用定义证明：不论a为何实数f(x)在（负无穷，正无穷）上为增函数；
2.若f（x）为奇函数，求a的值；
3.在2的条件下，求f（x）在区间[1，5]上的最小值.

Answer 1

函数为：f(x)=a-1/(2^x+1) 以后最好能把分母加上括号，这样好看一些。
1、设x1，x2,∈R，且x1＜x2
则f(x1)-f(x2)=1/(2^x2+1)-1/(2^x1+1)
=(2^x1+1-2^x2-1)/(2^x1+1)(2^x2+1)
=(2^x1-2^x2)/(2^x1+1)(2^x2+1)
因为x1＜x2，所以2^x1-2^x2＜0，而分母＞0
所以f(x1)-f(x2)＜0
所以f(x)在（负无穷，正无穷）上为增函数
2、-f(x)=f(-x)
奇函数，f(0)=0
可以求得a=1/2
3、f(x)=1/2-1/(2^x+1)
最小值为f(1)=1/6

追问

有三个地方不理解：
1.第三行的f(x1)-f(x2)=1/(2^x2+1)-1/(2^x1+1)”中，为什么是1/(2^x2+1)-1/(2^x1+1)而不是1/(2^x1+1)-1/(2^x2+1)？
2.为什么在计算f(x1)-f(x2)时，“a”不要带进去，那句“不论a为何实数”是什么意思
3.第二题中为什么x要用0带进去

追答

少年，都回答到这种程度了哦~~
好吧，再给你说说，以后请自己先一步一步踏踏实实的算好吗？
首先，先明确一点，a是不属于分子上的。
第三行因为：
f(x1)=a-1/(2^x1+1)
f(x2)=a-1/(2^x2+1)
所以
f(x1)-f(x2)=[a-1/(2^x1+1)]-[a-1/(2^x2+1)]
=1/(2^x2+1)-1/(2^x1+1)（括号打开就是了）
“a”不是不带进去，而是因为带进去后被抵消了。
第二题中为什么带0，因为带0进去就可以直接算出f(0)，然后求得a。
而且对于奇偶函数如果在0上有定义，则f(0)必然等于0，这算是常识吧。