Question

已知概率密度函数怎么求它的数学期望和方差

f(x)=1/2a (-a<=x<=a)
0 (其他x)

Answer 1

代入公式。在[a,b]上的均匀分布，期望=(a+b)/2，方差=[(b-a)^2]/2。代入直接得到结论。如果不知道均匀分布的期望和方差公式，只能按步就班的做：

期望：

EX=∫{从-a积到a} xf(x) dx
=∫{从-a积到a} x/2a dx
=x^2/4a |{上a,下-a}
=0

E(X^2)=∫{从-a积到a} (x^2)*f(x) dx
=∫{从-a积到a} x^2/2a dx
=x^3/6a |{上a,下-a}
=(a^2)/3

方差：
DX=E(X^2)-(EX)^2=(a^2)/3

扩展资料：

离散型随机变量与连续型随机变量都是由随机变量取值范围(取值)确定。

变量取值只能取离散型的自然数，就是离散型随机变量。例如，一次掷20个硬币，k个硬币正面朝上，k是随机变量。k的取值只能是自然数0，1，2，…，20，而不能取小数3.5、无理数，因而k是离散型随机变量。

如果变量可以在某个区间内取任一实数，即变量的取值可以是连续的，这随机变量就称为连续型随机变量。

例如，公共汽车每15分钟一班，某人在站台等车时间x是个随机变量，x的取值范围是[0,15），它是一个区间，从理论上说在这个区间内可取任一实数3.5、无理数等，因而称这随机变量是连续型随机变量。

由于随机变量X的取值 只取决于概率密度函数的积分，所以概率密度函数在个别点上的取值并不会影响随机变量的表现。

更准确来说，如果一个函数和X的概率密度函数取值不同的点只有有限个、可数无限个或者相对于整个实数轴来说测度为0（是一个零测集），那么这个函数也可以是X的概率密度函数。

连续型的随机变量取值在任意一点的概率都是0。作为推论，连续型随机变量在区间上取值的概率与这个区间是开区间还是闭区间无关。要注意的是，概率P{x=a}=0，但{X=a}并不是不可能事件

参考资料来源：百度百科-数学期望

Answer 2

x是均匀分布
期望：EX=(a-a)/2=0
方差：DX=(a+a)^2/12=(a^2)/3

追问

可以解释一下为什么是这样做吗

追答

上面的做法是代入公式。
在[a,b]上的均匀分布，期望=(a+b)/2，方差=[(b-a)^2]/2
代入直接得到结论

如果不知道均匀分布的期望和方差公式，只能按步就班的做：
期望：
EX=∫{从-a积到a} xf(x) dx
=∫{从-a积到a} x/2a dx
=x^2/4a |{上a,下-a}
=0
E(X^2)=∫{从-a积到a} (x^2)*f(x) dx
=∫{从-a积到a} x^2/2a dx
=x^3/6a |{上a,下-a}
=(a^2)/3
方差：
DX=E(X^2)-(EX)^2=(a^2)/3