Question

若函f(x),g(x)分别是R上的奇函数，偶函数，且满足f(x)-g(x)=e^x,则f(3),g(0),f(2)三数从小到大排列为

Answer 1

题中告诉了f(x)-g(x)
又有f(x),g(x)分别是R上的奇函数，偶函数。
f、g有不同的奇偶性，所以就会出现f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]
也就是说很容易构造出f(x)+g(x)
那么有了f(x)-g(x)，f(x)+g(x)， 就可以求出f(x)、g(x)了

完整解答如下：
因为 f(x),g(x)分别是R上的奇函数，偶函数
所以，任取x属于R， 都有：
f(-x)=-f(x) g(-x)=g(x) （1）
而 f(x)-g(x)=e^x (2)
用-x代替其中的x也是成立的，即：f(-x)-g(-x)=e^(-x)
用（1）式代入有 ： f(x)+g(x)=-e^(-x) (3)
(1)+(3)有： 2f(x)=e^x-e^(-x) 即： f(x)=1/2[e^x-1/(e^x)] ( 注意：e^(-x)=1/e^x)
(3)-(1)有： 2g(x)=-1/(e^x)-e^x 即：g(x)=-1/2[1/(e^x)+e^x]
因而:x>0时，e^x>1>1/(e^x) f(x)>0 故f(3)>0 f(2)>0
而显然g(0)<0
下面只需要比较f(3)和f(2)的大小关系即可。这就是f(x)的单调性了
当x>0时，u=e^x是增函数， 1/(e^x)是减函数 故：-1/(e^x)是增函数
因而 f(x)=1/2[e^x-1/(e^x)] 是增函数。
有f(3)>f(2)
综上： g(0)<f(2)<f(3)

追问

因而:x>0时，e^x>1>1/(e^x) f(x)>0 故f(3)>0 f(2)>0
e的大小不考虑？ 0＜e＜1时x增大值减小呀？

Answer 2

函f(x),g(x)分别是R上的奇函数，偶函数，则有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)
由f(x)-g(x)=e^x知：f(-x)-g(-x)=e^(-x),即-f(x)-g(x)=e^(-x)，两式相加得：
-2g(x)=e^x+e^(-x),
g(x)=-1/2[e^x+e^(-x)],
故f(x)=e^x+g(x)=1/2[e^x-e^(-x)]
f(3)=1/2[e^3-e^(-3)]>0
g(0)=-1/2[1+1]=-1
f(2)=1/2[e^2-e^(-2)]>0
令f(3)-f(2)=1/2[(e^3-e^2)+(e^(-2)-e^(-3))]>0,
故有g(0)<f(2)<f(3)

追问

令f(3)-f(2)=1/2[(e^3-e^2)+(e^(-2)-e^(-3))]>0,
这不具体一点

追答

由y=e^x增函数性质知：e^3-e^2>0，e^(-2)-e^(-3)>0，故f(3)-f(2)>0

追问

e一定＞0？不能使0＜e＜1？

追答

e不是自然对数吗？e=2.几>1

Answer 3

f(x)+g(x)=e^x,f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=e^(-x);两式相加得g(x)=(e^x+e^-x)/2,相减得f(x)=(e^x-e^-x)/2，所以f(x)单调递增，所以g(0)=1<f(2)<f(3),祝学习进步哈！

Answer 4

利用f(-x)和g(-x)的奇偶性可解出：f(x)=1/2*(e^x-e^(-x));g(x)=-1/2*(e^x+e^(-x));
把3,0,2分别代入函数，可得：f(3)>f(2)>g(0);
好长时间不算题了，希望没算错