Question

初三数学几何（望给详细答案，谢谢）

已知△ABC的面积为1，D、E分别是AB、AC边上的点，CD、BE交于F点，过点F作FM//AB.FN//AC交BC边于M、N
1）如图25-1 当D、E分别是AB、AC边上的中点时，求△FMN的面积
2）如图25-2 当AD/DB=1/2，AE/EC=3时，求△FMN的面积
3）当AD/DB=a.AE/EC=b时，用含a,b的代数式表示△FMN的面积（直接写答案）

Answer 1

1)当D,E分别为AB,AC中点时,则S△DBC=S△ECB=(1/2)S△ABC=1/2.
若连接DE,则DE//BC,DF/FC=DE/BC=1/2,故S△BCF=(2/3)S△BCD=1/3.
FM/BD=CF/CD=2/3,故S△FMC/S△DBC=(2/3)^2=4/9,即S△FMC=(4/9)S△DBC=2/9.
同理可知:S△FNB=2/9.
故S△FMN=S△FMC+S△FNB-S△FBC=2/9+2/9-1/3=1/9.
2)当AD/DB=1/2时,S△DBC=(2/3)S△ABC=2/3;同理可知:S△ECB=(1/4)S△ACB=1/4.
过点C作AB的平行线,交BE的延长线于G.
则CG/AB=CE/EA=1/3,AB=3CG,BD=(2/3)AB=(2/3)*3CG=2CG,则CG/BD=CF/FD=1/2.
故S△FCB=(1/3)S△CDB=(1/3)*(2/3)=2/9;
S△FMC/S△DBC=(CF/CD)^2=(1/3)^2=1/9,S△FMC=(1/9)S△DBC=2/27;
同理相似可求:S△FNB=(64/81)S△ECB=16/81.
故S△FMN=S△FMC+S△FNB-S△FBC=2/27+16/81-2/9=4/81.
3)当AD/DB=a,AE/EC=b时，S△FMN=1/(a+b+1)².

Answer 2

1、过D作DH平行BE交AC于H点，过D点作DG平行AC交BE于G点
所以四边形DGEH为平行四边形，所以DG=HE
因为D为AB的中点，DG平行BE，所以H为AE的中点，所以DG＝AE/2，又因为E为AC的中点，所以DG=EC/2,即DG：EC=1：2
因为DG平行EC，所以DG：EC =DF:FC=1:2,即FC：DF=2：1，得FC：CD=2：3
因为FM平行AB，所以FM：BD=FC：DF=2：3，FM：（AB/2）=2：3，得FM：AB=1：3
因为FM平行AB，FN平行AC，所以三角形FMN平行三角形ABC相似，
所以三角形FMN的面积：三角形ABC的面积＝（FM：AB）的平方＝1：9
所以三角形FMN的面积＝1/9
2、用上述方法，解得三角形FMN的面积＝4/81

注：如AD：DB＝x ,AE:EC=y,可求出三角形FMN的面积＝[1/（x+y+1)]的平方

Answer 3

(1)和(2)都是(3)的特殊情况，这里给出(3)的解答，(1)和(2)只需把(3)的解答中的a，b换成相应的特殊值即可。若点开大图还看不清楚，在大图上使用右键保存，再用图片浏览器打开。

Answer 4

这个题要好好想一下，第一问是1/9！
其它两问还要想一下！