Question

设函数f(x)在区间[0,1]上连续,且∫(0~1)f(x)dx=0

设函数f(x)在区间[0,1]上连续,且∫(0~1)f(x)dx=0证明至少存在一点ξ属于[0,1]使得 f(1-ξ)=-f(ξ)

Answer 1

设I=∫(0，1) [f(x)+f(1-x)]dx=∫(0，1) f(x)dx+∫(0，1) f(1-x)dx
对于∫(0，1) f(x)dx
令x=(1-t)
t=1-x
积分上下限变为(1，0)
dx=-dt
所以∫(0，1) f(x)dx
=∫(1，0) f(1-t)(-dt)
=-∫(1，0) f(1-t)dt
=∫(0，1) f(1-t)dt
积分与字母变量无关
=∫(0，1) f(1-x)dx
因为∫(0，1) f(x)dx=0
所以∫(0，1) f(1-x)dx=0
故I=∫(0，1) [f(x)+f(1-x)]dx
=∫(0，1) f(x)dx+∫(0，1) f(1-x)dx
=0+0=0
又因为积分中值定理
在(0，1)上存在一点ξ，使得
∫(0，1) [f(x)+f(1-x)]dx=f(ξ)+f(1-ξ)=0
得f(1-ξ)=-f(ξ)