Question

高手进！！！让我纠结了很久的一道物理题目！真的是小题目大智慧。

三只小蜗牛所在的位置形成等边三角形，三角形的边长为60。第一只蜗牛出发向第二只蜗牛爬去，同时第二只向第三只爬去，第三只向第一只爬去，每只蜗牛的爬行速度都是5cm/min。在爬行的过程中，每只蜗牛都始终保持对准自己的目标。经过多长时间蜗牛们会相遇？相遇的时候，它们各自爬过多长的路程？它们经过的路线可以用怎样的方程描述？若将蜗牛看作质点，那么它们相遇前，绕着它们最终相遇点转了多少圈？

Answer 1

设等边三角形中心为O。由题易知，每一时刻三只小蜗牛所在的位置都构成以O为中心的等边三角形。把小蜗牛的速度分解成指向O的速度v1和垂直v1的v2，有
v1 = √3/2 v = √3/2 * 5 = 5√3/2 cm/min
v2 = 1/2 v = 1/2 * 5 = 5/2 cm/min
蜗牛们会相遇在O点，蜗牛径向路程为蜗牛起始位置到O点得距离ρ= 20√3 cm
蜗牛们相遇时间 t = ρ/ v1 = 20√3 / 5√3/2 = 8min

它们各自爬过的路程 s = vt = 5 * 8 = 40 cm

设O为（0,0），其中一只蜗牛起始坐标（20√3,0），转换成极坐标（20√3,0）（其中ρ0= 20√3，θ0=0）。以t为参数（0 < t <8）
ρ=ρ0 - v1 * t = 20√3 - 5√3/2 t
角速度w = v2 / ρ= √3 / (24 - 3t)
θ= ( t: 0->t )的积分 w dt
= ( t: 0->t )的积分 √3 / (24 - 3t) dt
= √3/3 * [ln8 - ln(8 - t)]
极坐标方程（速度方向、原点坐标、起始点坐标都没设定，这只是一个例子）
ρ = 20√3 - 5√3/2 t
θ = √3/3 * [ln8 - ln(8 - t)] （以2π为循环，大于2π时减去2π即可）

它们相遇前，绕O转动角度θ趋近无穷

Answer 2

可以用微元法解决，但最好的方法是用相对运动的观点来看。对于其中两只蜗牛，它们的距离由