Question

已知A、B两点在双曲线X²-Y²/2=1上，AB的中点为M（1，2）求直线AB的方程

Answer 1

设两点坐标分别为A(1+a,2+b) B(1-a,2-b) a>0
AB所在的直线方程就是
bx-ay-(b-2a)=0
将A B坐标代入双曲线方程可得
(1+a)^2-(2+b)^2/2=1 (1)
(1-a)^2-(2-b)^2/2=1 (2)
(1)-(2)可得
4a-4b=0 即 a=b 代入(1)可得
a^2/2-1=1 a=b=2
所以AB所在直线方程是
x-y+1=0

Answer 2

直线AB过M点，可设为 y-2=k(x-1)，即y=kx-k+2
代入双曲线方程得：2x²﹣(kx-k+2)²=2
即 2x²-k²x²-k²-2²+2k²x-4kx-4k-2=0
整理得 (2-k²)x²+(2k²-4k)x+(4k-k²-6)=0
M为中点，则上述关于x的方程其两根 x1+x2=-b/a=(2k²-4k)/(k²-2)=2*1
解得k=1
∴直线AB的方程为y=x+1