Question

若函数y=lg(ax2+ax+1)的值域为R，求实数a的取值范围.

Answer 1

值域为R，则定义域为（0，无穷）
ax² + ax + 1 = a(x + 1/2)² + 1 - a/4
a > 0 且 1 - a/4 ≤ 0 -> a ≥ 4

追问

假如将ax2+ax+1画成图像的话，图像经过第四象限吗？经过的话不就是小于0吗？不是说ax2+ax+1要大于0吗

追答

图像经过第四象限（至少与x轴相切）。不是ax²+ax+1要大于0，而是ax²+ax+1要能够取一切大于0的值，所以ax²+ax+1的最小值应小于等于0

追问

我还是搞不懂？“ax²+ax+1要能够取一切大于0的值”这句怎么理解？

追答

就是说：设ax²+ax+1的值域为X=（x，无穷），集合Y=（0，无穷），“ax²+ax+1要能够取一切大于0的值”等价于Y∈X，所以 x ≤ 0

追问

那如果值域为（0，正无穷）那a^2-4a是不是就得小于0

追答

如果值域为（0，正无穷），那么定义域为（1，正无穷），即a(x + 1/2)² + 1 - a/4的取值范围为（1，正无穷），但a(x + 1/2)² + 1 - a/4一定可以取到最小值（且不是1，当为1时，a(x + 1/2)² + 1 - a/4是常数1），所以这种情况不存在

Answer 2

ax2+ax+1能取到大于0的所有数
1 a=0时ax2+ax+1=1,不合题意
2 a>0 a2-4*a>=0
so 0<X<=4

追问

假如将ax2+ax+1画成图像的话，图像经过第四象限吗？经过的话不就是小于0吗？不是说ax2+ax+1要大于0吗

Answer 3

你的题目的（真数）a=0不符题意，只有a>0.
所以， 它是开口向上的抛物线。只要判别式小于0，就在x轴的上方。（负数与0无对数）。
所以，a²－4a＜0,且a＞0,且a≠1.
∴答案为：a∈﹙0,1﹚∪﹙1,4﹚,

追问

可我们老师的答案是A≥4

追答

你要看清：题目里说的是“值域”为“全体实数”集。如果a=4，真数里x=-1/2就无意义了。