f(x+y)=f(x)f(y) 且f'(0)=1 求f'(x)
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f'(x)=e^x。
分析过程如下:
f(0)f(x)=f(x),故f(0)=1
设f(1)=a,则f(x)=af(x-1)=...=a^(x-1)f(1)=a^x
故f'(x)=lna*a^x,又f'(0)=1,故lna=1,故a=e(自然对数)
故f'(x)=e^x
扩展资料:
商的导数公式:
(u/v)'=[u*v^(-1)]'
=u' * [v^(-1)] +[v^(-1)]' * u
= u' * [v^(-1)] + (-1)v^(-2)*v' * u
=u'/v - u*v'/(v^2)
通分,易得:
(u/v)=(u'v-uv')/v²
常用导数公式:
1、c'=0
2、x^m=mx^(m-1)
3、sinx'=cosx,cosx'=-sinx,tanx'=sec^2x
4、a^x'=a^xlna,e^x'=e^x
5、lnx'=1/x,log(a,x)'=1/(xlna)
6、(f±g)'=f'±g'
7、(fg)'=f'g+fg'
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解:∵f(x+y)=f(x)f(y)
∴令y=0,得f(x)=f(x)f(0)==>f(x)(f(0)-1)=0.........(1)
∵f'(0)=1............(2)
∴f(x)≠0
∴由(1)得f(0)-1=0 ==>f(0)=1..........(3)
故f'(x)=lim(h->0)[(f(x+h)-f(x))/h] (由导数定义得)
=lim(h->0)[(f(x)f(h)-f(x))/h]
=lim(h->0)[f(x)(f(h)-1)/h]
=f(x)lim(h->0)[(f(h)-1)/h]
=f(x)lim(h->0)[(f(h)-f(0))/h] (由(3)式得)
=f(x)f'(0) (由导数定义得)
=f(x)*1 (由(2)式得)
=f(x)
∴令y=0,得f(x)=f(x)f(0)==>f(x)(f(0)-1)=0.........(1)
∵f'(0)=1............(2)
∴f(x)≠0
∴由(1)得f(0)-1=0 ==>f(0)=1..........(3)
故f'(x)=lim(h->0)[(f(x+h)-f(x))/h] (由导数定义得)
=lim(h->0)[(f(x)f(h)-f(x))/h]
=lim(h->0)[f(x)(f(h)-1)/h]
=f(x)lim(h->0)[(f(h)-1)/h]
=f(x)lim(h->0)[(f(h)-f(0))/h] (由(3)式得)
=f(x)f'(0) (由导数定义得)
=f(x)*1 (由(2)式得)
=f(x)
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f(0)f(x)=f(x),故f(0)=1
设f(1)=a,则f(x)=af(x-1)=...=a^(x-1)f(1)=a^x
故f'(x)=lna*a^x,又f'(0)=1,故lna=1,故a=e(自然对数)
故f'(x)=e^x
设f(1)=a,则f(x)=af(x-1)=...=a^(x-1)f(1)=a^x
故f'(x)=lna*a^x,又f'(0)=1,故lna=1,故a=e(自然对数)
故f'(x)=e^x
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