Question

f(x+y)=f(x)f(y) 且f'(0)=1 求f'(x)

Answer 1

f'(x)=e^x。

分析过程如下：

f(0)f(x)=f(x)，故f(0)=1

设f(1)=a，则f(x)=af(x-1)=...=a^(x-1)f(1)=a^x

故f'(x)=lna*a^x，又f'(0)=1，故lna=1，故a=e(自然对数)

故f'(x)=e^x

扩展资料：

商的导数公式：

(u/v)'=[u*v^(-1)]'

=u' * [v^(-1)] +[v^(-1)]' * u

= u' * [v^(-1)] + (-1)v^(-2)*v' * u

=u'/v - u*v'/(v^2)

通分，易得：

(u/v)=(u'v-uv')/v²

常用导数公式：

1、c'=0

2、x^m=mx^(m-1)

3、sinx'=cosx，cosx'=-sinx，tanx'=sec^2x

4、a^x'=a^xlna，e^x'=e^x

5、lnx'=1/x，log(a,x)'=1/(xlna)

6、(f±g)'=f'±g'

7、(fg)'=f'g+fg'

Answer 2

解：∵f(x+y)=f(x)f(y)
∴令y=0，得f(x)=f(x)f(0)==>f(x)(f(0)-1)=0.........(1)
∵f'(0)=1............(2)
∴f(x)≠0
∴由(1)得f(0)-1=0 ==>f(0)=1..........(3)
故f'(x)=lim(h->0)[(f(x+h)-f(x))/h] (由导数定义得)
=lim(h->0)[(f(x)f(h)-f(x))/h]
=lim(h->0)[f(x)(f(h)-1)/h]
=f(x)lim(h->0)[(f(h)-1)/h]
=f(x)lim(h->0)[(f(h)-f(0))/h] (由(3)式得)
=f(x)f'(0) (由导数定义得)
=f(x)*1 (由(2)式得)
=f(x)

Answer 3

f(0)f(x)=f(x),故f(0)=1
设f(1)=a，则f(x)=af(x-1)=...=a^(x-1)f(1)=a^x
故f'(x)=lna*a^x，又f'(0)=1，故lna=1，故a=e(自然对数)
故f'(x)=e^x