Question

有第二类间断点的函数有没有原函数

Answer 1

若积分后在间断点处左右极限存在时，可能有原函数。举例说明如下：

设F(x)=xsin(1/x)，x≠0 ；x=0时，F(x)=0。 则f(x)=F'(x)=sin(1/x)-(1/x)cos(1/x),x≠0。

而x=0时，F'(x)不存在 。易知x=0为f(x)的第二类间断点，但f(x)有原函数F(x)。

第二类间断点简介：

第二类间断点是指函数的左右极限至少有一个不存在。第二类间断点有非常多种，如无穷间断点，振荡间断点，单侧间断点，狄利克雷函数间断点等等，但大学数学及考研只要求掌握无穷间断点与振荡间断点，所以词条只详解这两类。

Answer 2

若积分后在间断点处左右极限存在时，可能有原函数。举例说明如下：
设F(x)=xsin(1/x)，x≠0 ；x=0时，F(x)=0。 则f(x)=F'(x)=sin(1/x)-(1/x)cos(1/x),x≠0
而x=0时，F'(x)不存在 。易知x=0为f(x)的第二类间断点，但f(x)有原函数F(x)。