Question

为什么有第一类间断点就没有原函数？

例如这两个分段函数函数，f有可去间断点，但g求导能得到f，这是啥情况？能说g是f的原函数么？虽然g可以求导，但并不是处处可导，这能说g是原函数么？

Answer 1

这句话应该反过来说,应该是:
在某个区间上可导的函数,其导函数在该区间上没有第一类间断点.
可以通过拉格朗日中值定理证明上述定理(又叫做导函数连续定理):
若f(x)在x0的某个邻域U(x0;δ)内连续,在该去心邻域U°(x0;δ)上可导,且lim(x→x0)f'(x)存在,则f(x)在x0处也可导,并有f'(x0)=lim(x→x0)f'(x)
而第一类间断点的定义是函数在某点左右极限都存在,但不等於该点函数值.
显然,如果导函数在某点左右极限存在且相等,那麼导函数在该点连续,该点就不可能是可去间断点.
而如果导函数在某点左右极限存在却不等,那麼导函数的左极限就是原函数的左导数,导函数的右极限就是原函数的右导数.左右极限不等意味著左右导数不等,所以原函数在该点不可导,或者说导函数在该点无定义.因此该点不会是跳跃间断点(第一类间断点的定义里强调了该点必须要有函数值,既然在该点无定义,即使左右极限不等,它也不是跳跃间断点).
综上,在某个区间上可导的函数,其导函数在该区间上没有第一类间断点成立.

Answer 2

根据定理2

详情如图所示

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