Question

求双重积分

已知D是由曲线x^2+y^2=1和直线y=x，以及y=0在第一象限内围成的面积。求双重积分号Ddxdy=?
题目写错了（狂吐）：是双重积分号ydxdy=?(不是D)
(不要用极坐标求解，用平面直角坐标求解。)

Answer 1

方法一：极坐标法
转换到极坐标系
D: 0≤r≤1, 0≤θ≤π/4
∴∫∫(D)ydxdy
=∫∫(D)r*rsinθdrdθ
=∫(0,π/4)sinθdθ∫(0,1)r²dr
=-[cosθ|(0,π/4)]*[(r³/3)|(0,1)]
=1/3-√2/6

方法二：直角坐标法
先求交点
x²+y²=1且y=x
解得x=y=√2/2
∴D=D1+D2
D1: 0≤x≤√2/2, 0≤y≤x
D2: √2/2≤x≤1, 0≤y≤√(1-x²)

∴∫∫(D)ydxdy
=∫∫(D1)ydxdy+∫∫(D2)ydxdy
=∫(0,√2/2)dx∫(0,x)ydy+∫(√2/2,1)dx∫(0,√(1-x²))ydy
=∫(0,√2/2) (x²/2)dx+∫(√2/2,1) [(1-x²)/2] dx
=(√2/2)³/6+[(x/2-x³/6)|(√2/2,1)]
=√2/24+(1/2-1/6-√2/4+√2/24)
=1/3-√2/6

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方法一：极坐标法
转换到极坐标系
D: 0≤r≤1, 0≤θ≤π/4
∴∫∫(D)ydxdy
=∫∫(D)r*rsinθdrdθ
=∫(0,π/4)sinθdθ∫(0,1)r²dr
=-[cosθ|(0,π/4)]*[(r³/3)|(0,1)]
=1/3-√2/6

方法二：直角坐标法
先求交点
x²+y²=1且y=x
解得x=y=√2/2
∴D=D1+D2
D1: 0≤x≤√2/2, 0≤y≤x
D2: √2/2≤x≤1, 0≤y≤√(1-x²)

∴∫∫(D)ydxdy
=∫∫(D1)ydxdy+∫∫(D2)ydxdy
=∫(0,√2/2)dx∫(0,x)ydy+∫(√2/2,1)dx∫(0,√(1-x²))ydy
=∫(0,√2/2) (x²/2)dx+∫(√2/2,1) [(1-x²)/2] dx
=(√2/2)³/6+[(x/2-x³/6)|(√2/2,1)]
=√2/24+(1/2-1/6-√2/4+√2/24)
=1/3-√2/6